Faça o que se pede em cada item a seguir:
Utilizando o processo feito nos itens anteriores, mostre que para todo
com
, as seguintes expressões são válidas
e
Utilizando o processo feito nos itens anteriores, mostre que para todo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução natural via decomposição de potências e técnicas de integração, que para todo inteiro n≥2 as integrais de tan^n x e sec^n x satisfazem certas fórmulas de redução. Vamos usar decomposição de potências, substituição e integração por partes.
Passo 2
Para
proz∫ tan^n x dx decomponho tan^n x como tan^{n-2} x·(sec^2 x−1). Assim:
proz∫ tan^n x dx decomponho tan^n x como tan^{n-2} x·(sec^2 x−1). Assim:
No primeiro termo faço a substituição u=tan x, du=sec^2 x dx:
Logo:
Passo 3
Para
proz∫ sec^n x dx uso integração por partes escolhendo u=sec^{n-2} x e dv=sec^2 x dx. Aí du=(n-2)·sec^{n-2} x·tan x dx e v=tan x. Logo:
proz∫ sec^n x dx uso integração por partes escolhendo u=sec^{n-2} x e dv=sec^2 x dx. Aí du=(n-2)·sec^{n-2} x·tan x dx e v=tan x. Logo:
Como tan^2 x=sec^2 x−1, o segundo termo vira:
Subtraindo esse termo do lado esquerdo e agrupando ∫ sec^n x dx obtemos:
e daí:
Resposta
As fórmulas de redução são:
e