Faça o que se pede em cada item a seguir:
Utilizando o processo feito nos itens anteriores, mostre que para todo n in N com n >= 2, as seguintes expressões são válidas
integral tan ^n x d x=t g^n-1 xn-1-integral t g^n-2 x d x
e
integral sec ^n x d x=sec ^n-2 x tan xn-1+n-2n-1 integral sec ^n-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução natural via decomposição de potências e técnicas de integração, que para todo inteiro n≥2 as integrais de tan^n x e sec^n x satisfazem certas fórmulas de redução. Vamos usar decomposição de potências, substituição e integração por partes.

Passo 2

Para
proz∫ tan^n x dx decomponho tan^n x como tan^{n-2} x·(sec^2 x−1). Assim:
∫ tan^n x dx = ∫ tan^n-2 x·sec^2 x dx − ∫ tan^n-2 x dx
No primeiro termo faço a substituição u=tan x, du=sec^2 x dx:
∫ tan^n-2 x·sec^2 x dx = ∫ u^n-2 du = u^n-1n-1 = tan^n-1 xn-1
Logo:
∫ tan^n x dx = tan^n-1 xn-1 − ∫ tan^n-2 x dx

Passo 3

Para
proz∫ sec^n x dx uso integração por partes escolhendo u=sec^{n-2} x e dv=sec^2 x dx. Aí du=(n-2)·sec^{n-2} x·tan x dx e v=tan x. Logo:
∫ sec^n x dx = sec^n-2 x·tan x − (n-2)∫ sec^n-2 x·tan^2 x dx
Como tan^2 x=sec^2 x−1, o segundo termo vira:
(n-2)∫ sec^n-2 x·(sec^2 x−1) dx = (n-2)∫ sec^n x dx − (n-2)∫ sec^n-2 x dx
Subtraindo esse termo do lado esquerdo e agrupando ∫ sec^n x dx obtemos:
(n-1)∫ sec^n x dx = sec^n-2 x·tan x + (n-2)∫ sec^n-2 x dx,
e daí:
∫ sec^n x dx = sec^n-2 x·tan xn-1 + n-2n-1∫ sec^n-2 x dx

Resposta

As fórmulas de redução são:
integral tan^nx,dx = tan^n-1xn-1 - integral tan^n-2x,dx
e
integral sec^nx,dx = sec^n-2x,tan xn-1 + n-2n-1integral sec^n-2x,dx

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