Use uma série Maclaurin para obter a série de potências da função
dada:
.
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de Maclaurin a função
. O tema aqui é séries de potências e vamos usar o teorema binomial para funções do tipo
.
Passo 2
Para aplicar o binomial, primeiro escrevemos
de forma conveniente:
Então
$$
f(x)=\frac{x2}{\sqrt{4+x2}}=\frac{x2}{2},(1+u){-1/2},
$$onde definimos
.
Passo 3
O teorema binomial generalizado diz que para
e qualquer
temos:
Passo 4
Multiplicando por
e simplificando as potências de 2, obtemos o termo geral:
Passo 5
Para ver como ficam os primeiros termos, calculemos alguns
:
n=0: → termo
n=1: → termo
n=2: → termo
n=3: → termo
E assim por diante, construindo a série completa.
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
E assim por diante, construindo a série completa.
Resposta
A série de Maclaurin de
fica: