Use uma série Maclaurin para obter a série de potências da função f dada:
f(x)=x^2raiz4+x^2.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de Maclaurin a função f(x)=x^2raiz4+x^2. O tema aqui é séries de potências e vamos usar o teorema binomial para funções do tipo (1+u)^alpha.

Passo 2

Para aplicar o binomial, primeiro escrevemos f(x) de forma conveniente:
raiz4+x^2=2raiz1+x^24
Então
$$
f(x)=\frac{x2}{\sqrt{4+x2}}=\frac{x2}{2},(1+u){-1/2},
$$onde definimos f(x)=x^2raiz4+x^2=x^22,(1+u)^-1/2, .

Passo 3

O teorema binomial generalizado diz que para |u|<1 e qualquer alpha temos:
(1+u)^alpha=sumn=0^inftybinomalphan,u^n, com
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n! Aqui alpha=-tfrac12, então
(1+u)^-1/2=sumn=0^inftybinom-1/2n,u^n=sumn=0^inftybinom-1/2n(x^24)^n

Passo 4

Multiplicando por x^2/2 e simplificando as potências de 2, obtemos o termo geral:
f(x)=x^22sumn=0^inftybinom-1/2nx^2n4^n =sumn=0^inftybinom-1/2nx^2n+22^2n+1

Passo 5

Para ver como ficam os primeiros termos, calculemos alguns binom-1/2n:
n=0: binom-1/20=1 → termo tfrac12x^2
n=1: binom-1/21=-tfrac12 → termo -tfrac116x^4
n=2: binom-1/22=tfrac38 → termo tfrac3256x^6
n=3: binom-1/23=-tfrac516 → termo -tfrac52048x^8
E assim por diante, construindo a série completa.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=x^2raiz4+x^2 fica:
f(x)=sumn=0^inftybinom-1/2nx^2n+22^2n+1 =tfrac12x^2-tfrac116x^4+tfrac3256x^6-tfrac52048x^8+cdots

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