Use uma série Maclaurin para obter a série de potências da função
dada:
Passo 1
O exercício pede a série de potências (expansão de Maclaurin) da função f(x)=ln(1−x³). Vamos usar a fórmula clássica de ln(1+u) para gerar essa série.
Passo 2
Na teoria, para |u|<1 vale
Essa identidade é o ponto de partida.
Passo 3
Como f(x)=ln(1−x³) podemos ver que u=−x³. Substituindo na fórmula acima, temos
Passo 4
Agora simplificamos o termo geral. Como
, o expoente de (−1) fica n+1+n=2n+1, ou seja sempre ímpar. Assim cada termo é
Logo a série fica
Passo 5
O raio de convergência vem da condição |u|<1, isto é |x³|<1. Portanto a expansão é válida para |x|<1.