Use uma série Maclaurin para obter a série de potências da função f dada:
f(x)=ln (1-x^3)

Passo 1

O exercício pede a série de potências (expansão de Maclaurin) da função f(x)=ln(1−x³). Vamos usar a fórmula clássica de ln(1+u) para gerar essa série.

Passo 2

Na teoria, para |u|<1 vale
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn
Essa identidade é o ponto de partida.

Passo 3

Como f(x)=ln(1−x³) podemos ver que u=−x³. Substituindo na fórmula acima, temos
ln(1−x³)=sumn=1^infty(-1)^n+1(-x^3)^nn ³

Passo 4

Agora simplificamos o termo geral. Como (-x^3)^n=(-1)^n x^3n, o expoente de (−1) fica n+1+n=2n+1, ou seja sempre ímpar. Assim cada termo é
(-1)^2n+1x^3nn=-x^3nn
Logo a série fica
-sumn=1^inftyx^3nn

Passo 5

O raio de convergência vem da condição |u|<1, isto é |x³|<1. Portanto a expansão é válida para |x|<1.

Resposta

-sumn=1^inftyx^3nn, válida para |x|<1.

Exercícios relacionados