Seja F(t)=t i+j+e^t k e G(t)=i+j+k. Calcule
integral0^1(F(t) wed>= G(t)) d t

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais:
F(t) = t, i + j + e^t, k
G(t) = i + j + k
A pergunta quer que calculemos a integral de 0 a 1 do produto vetorial desses dois vetores, ou seja:
integral0^1 (F(t) wed>= G(t)), dt
Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer o produto vetorial de dois vetores e depois integrar cada componente resultante em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores $ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} $ e $ \vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k} $. O produto vetorial é dado por:
A = Ax i + Ay j + Az k
Vamos aplicar isso aos nossos vetores $ F(t) $ e $ G(t) $.

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos vetores $ F(t) $ e $ G(t) $:
Para $ F(t) $:
F(t)
G(t)
F(t)
Para $ G(t) $:
Ax = t
Ay = 1
Az = e^t

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do produto vetorial:
F(t) wed>= G(t) = (Ay Bz - Az By), i - (Ax Bz - Az Bx), j + (Ax By - Ay Bx), k
Substituindo os valores:
F(t) wed>= G(t) = (1 cdot 1 - e^t cdot 1), i - (t cdot 1 - e^t cdot 1), j + (t cdot 1 - 1 cdot 1), k
Simplificando:
F(t) wed>= G(t) = (1 - e^t), i - (t - e^t), j + (t - 1), k

Passo 5

Agora que temos o produto vetorial, vamos integrar cada componente de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
t = 0

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Para a componente $ \vec{i} $:
i
2. Para a componente $ \vec{j} $:
integral0^1 (1 - e^t), dt = [ t - e^t ]0^1 = (1 - e) - (0 - 1) = 1 - e + 1 = 2 - e
  1. Para a componente $ \vec{k} $:
j

Resposta

A integral é igual a:
(2 - e), i - ( 32 - e ), j - 12, k

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