Seja
e
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais:
A pergunta quer que calculemos a integral de 0 a 1 do produto vetorial desses dois vetores, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer o produto vetorial de dois vetores e depois integrar cada componente resultante em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores $ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} $ e $ \vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k} $. O produto vetorial é dado por:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores $ F(t) $ e $ G(t) $.
Passo 3
Vamos identificar as componentes dos vetores $ F(t) $ e $ G(t) $:
Para $ F(t) $:
Para $ F(t) $:
Para $ G(t) $:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do produto vetorial:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o produto vetorial, vamos integrar cada componente de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Para a componente $ \vec{i} $:
2. Para a componente $ \vec{j} $:
- Para a componente $ \vec{k} $:
Resposta
A integral é igual a: