Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
Calcule: .

Passo 1

Começamos com o limite
limxto1 sin(x^2-1)x-1
Esse é um caso de indeterminação 0/0, pois ao substituir x=1 temos sin(0)=0 no numerador e 1-1=0 no denominador. Vamos usar também o limite fundamental limuto0sin(u)u=1.

Passo 2

Note que
x^2-1=(x-1)(x+1)
Então reescrevemos a expressão original como
sin(x^2-1)x-1=sinl((x-1)(x+1)r)x-1

Passo 3

Fazemos a substituição auxiliar u=(x-1)(x+1). Assim,
sin(x^2-1)x-1=sin(u)x-1= racsin(u)ucdotux-1
Como u/(x-1)=x+1, a expressão fica
sin(x^2-1)x-1=sin(u)u,(x+1)

Passo 4

Ao calcular o limite xto1, temos u=(x-1)(x+1)to0, logo sin(u)/uto1 e x+1to2. Pelo teorema do limite do produto:
limxto1sin(x^2-1)x-1=1cdot2=2

Resposta

2

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