Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que: lim x 0 x3^x-1=1ln 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0dfracx3^x-1 sem usar a regra de L’Hospital. O conteúdo é limite de funções exponenciais e vamos precisar da propriedade básica 3^x = e^xln3 e do limite padrão limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a base 3 em termos da função exponencial natural:
3^x = e^xln3
Isso transforma o denominador em uma forma que podemos usar no limite padrão.

Passo 3

Agora, fazemos a troca no quociente:
x3^x - 1 = xe^xln3 - 1
Multiplicamos numerador e denominador por ln3 de modo a usar o limite padrão:
xe^xln3-1 = 1ln3cdotxln3e^xln3-1

Passo 4

Aplicamos o limite xto0. Note que u = xln3 também vai a zero, e pelo limite conhecido temos
limxto0xln3e^xln3-1 = limuto0ue^u-1 = 1
Portanto, final_answer

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