Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que: lim x infty raizx^2+x-x=12

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyl(raizx^2 + x-xr)
sem usar a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites de funções que geram indeterminação do tipo ∞–∞ e vamos usar a racionalização (multiplicação pelo conjugado) e propriedades de limites.

Passo 2

Observamos que à primeira vista raizx^2 + x e x tendem ambos a infinito quando xtoinfty, gerando um tipo indeterminado ∞–∞. Para eliminar essa indeterminação, multiplicamos a expressão pelo conjugado sobre ela mesma:
raizx^2 + x-x = l(raizx^2 + x-xr)cdotraizx^2 + x+xraizx^2 + x+x = (raizx^2 + x)^2 - x^2raizx^2 + x + x

Passo 3

No numerador temos
(raizx^2 + x)^2 - x^2 = x^2 + x - x^2 = x
Então a diferença se torna
raizx^2 + x-x = xraizx^2 + x + x

Passo 4

Para simplificar mais, fatoramos x dentro da raiz e fora dela no denominador:
raizx^2 + x = raizx^2l(1 + tfrac1xr) = xraiz1 + tfrac1x,
portanto
raizx^2 + x + x = xraiz1 + tfrac1x + x = xl(raiz1 + tfrac1x + 1r)
Substituindo em nossa expressão:
raizx^2 + x-x = xxl(raiz1 + tfrac1x + 1r) = 1raiz1 + tfrac1x + 1

Passo 5

Agora usamos que limxtoinftytfrac1x = 0 e que as funções raiz e soma são contínuas. Logo
limxtoinfty(raiz1 + tfrac1x + 1) = raiz1 + 0 + 1 = 2
Assim
limxtoinftyl(raizx^2 + x-xr) = limxtoinfty1raiz1 + tfrac1x + 1 = 12

Resposta

12

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