Resolva as seguintes integrais:
integral cos ^3(x) cdot sen^2(x) cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^3(x) cdot sin^2(x),dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e vamos usar duas ideias principais: manipular potências de seno e cosseno com identidades trigonométricas e depois aplicar substituição.

Passo 2

Reescrevendo cos^3(x) como cos^2(x),cos(x) e usando cos^2(x)=1-sin^2(x), a integral fica:
integral cos^3(x),sin^2(x),dx = integral (1-sin^2(x)),sin^2(x),cos(x),dx
Agora a gente faz a substituição u=sin(x), logo du=cos(x),dx. Assim:
integral (1-sin^2(x)),sin^2(x),cos(x),dx = integral (1-u^2),u^2,du = integral (u^2-u^4),du

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral u^2,du = u^33, integral u^4,du = u^55
Logo a primitiva em u é
u^33 - u^55 + C

Passo 4

Voltando para x com u=sin(x), a resposta final é obtida.

Resposta

13sin^3(x) - 15sin^5(x) + C

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