Encontre a transformada ou a transformada inversa.
f(t)=e^-3 t cos pi t

Passo 1

Enunciado: queremos achar a transformada de Laplace de f(t)=e^{-3t},cos(\pi t). O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no domínio s. Para resolver, vamos precisar da transformada básica de cos(\pi t) e da regra que diz como tratar o fator e^{-3t}.

Passo 2

Para começar, lembramos da transformada de Laplace da função coseno. Pela definição ou tabela de transformadas, temos
Lcos(pi t)(s)=integral0^inftye^-stcos(pi t),dt=ss^2+pi^2

Passo 3

Em seguida, usamos a propriedade de deslocamento no domínio s: se g(t) tem transformada G(s), então
e^{-3t}g(t) tem transformada G(s+3). Em outras palavras:
Le^-3tg(t)(s)=G(s+3)

Passo 4

Aplicando essa propriedade a g(t)=\cos(\pi t), cuja transformada é G(s)=s/(s{2}+\pi{2}), basta substituir s por s+3 em G(s). Assim obtemos
Le^-3tcos(pi t)(s)=s+3(s+3)^2+pi^2

Resposta

Le^-3tcos(pi t)(s)=s+3(s+3)^2+pi^2.

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