Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que: lim x 3 x-3raiz[3]x-raiz[3]3=3 raiz[3]9

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 3x-3raiz[3]x-raiz[3]3 = ?
sem usar a regra de L’Hospital. O tema aqui é limites e manipulação algébrica usando fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Para começar, definimos
a = raiz[3]x, b = raiz[3]3
Então temos x = a^3 e 3 = b^3.

Passo 3

Repare que o numerador se torna
x - 3 = a^3 - b^3
Podemos usar a fórmula de fatoração da diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Passo 4

Substituindo na fração original:
x-3raiz[3]x-raiz[3]3 = a^3 - b^3a - b = a^2 + ab + b^2
Agora a expressão está simplificada.

Passo 5

Para finalizar, observamos que quando xto3 então a = raiz[3]x to raiz[3]3 = b. Como a função a^2 + ab + b^2 é contínua, basta substituir a=b:
limxto3(a^2+ab+b^2) = b^2 + b^2 + b^2 = 3b^2 = 3l(raiz[3]3r)^2 = 3raiz[3]9

Resposta

3 \sqrt[3]{9}

Exercícios relacionados