(1,5 ponto) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja de
. O material da base vai custar
por
e o material dos lados
por
. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo. Qual é esse custo? Utilize duas casas decimais com arredondamento.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar as dimensões de uma caixa sem tampa, com base quadrada e volume fixo de 800 m³, de modo que o custo do material seja mínimo. Isso envolve otimização usando derivadas: a gente vai expressar o custo em função de uma variável, derivar, achar o ponto crítico e confirmar que é mínimo.
Passo 2
Seja o lado da base igual a
(em metros) e a altura igual a
. Como o volume é
m³ e
, temos:
Passo 3
Agora vamos montar o custo. A base tem área
e custa R$ 160,00 por m², então o custo da base é
. Cada lateral tem área
, são 4 delas, e custam R$ 100,00 por m², então o custo das laterais é
Passo 4
Substituindo
no custo total,
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
[
320x = \frac{320000}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 1000 \quad\Longrightarrow\quad x = 10,m.
320x = \frac{320000}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 1000 \quad\Longrightarrow\quad x = 10,m.
Passo 6
Como
o ponto é mínimo. A altura fica
Passo 7
Por fim, o custo mínimo é
Em reais, R$ 48.000,00.
Resposta
Dimensões da caixa: lado da base
, altura
. Custo mínimo:
.