(1,5 ponto) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja de 800 m^3. O material da base vai custar R por por e o material dos lados e o material dos lados por 100,00. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo. Qual é esse custo? Utilize duas casas decimais com arredondamento.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as dimensões de uma caixa sem tampa, com base quadrada e volume fixo de 800 m³, de modo que o custo do material seja mínimo. Isso envolve otimização usando derivadas: a gente vai expressar o custo em função de uma variável, derivar, achar o ponto crítico e confirmar que é mínimo.

Passo 2

Seja o lado da base igual a x (em metros) e a altura igual a h. Como o volume é V=800 m³ e V = x^2h, temos:
h = 800x^2

Passo 3

Agora vamos montar o custo. A base tem área x^2 e custa R$ 160,00 por m², então o custo da base é 160,00 por m², então o custo da base é . Cada lateral tem área Cada lateral tem área , são 4 delas, e custam R$ 100,00 por m², então o custo das laterais é
, são 4 delas, e custam R

Passo 4

Substituindo h=800/x^2 no custo total,
C(x) = 160x^2 + 400xcdot800x^2 = 160x^2 + 320000x

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos em relação a x:
C'(x) = 320x - 320000x^2
Igualando a zero:
[
320x = \frac{320000}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 1000 \quad\Longrightarrow\quad x = 10,m.

Passo 6

Como
C''(x) = 320 + 640000x^3 > 0 para x>0,
o ponto é mínimo. A altura fica
h = 80010^2 = 8,m

Passo 7

Por fim, o custo mínimo é
C(10) = 160cdot10^2 + 400cdot10cdot8 = 16000 + 32000 = 48000
Em reais, R$ 48.000,00.

Resposta

Dimensões da caixa: lado da base x = 10,00 m, altura h = 8,00 m. Custo mínimo: R.

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