(2,5 pontos) Dada a função
, pede-se:
(a) O domínio da função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso exista(m);
(b) A derivada de primeira ordem, isto é,
;
©
intervalo(s) de crescimento e de decrescimento da função;
(d)
ponto(s) de máximo e mínimo relativo (local), caso exista(m);
(e) A derivada de segunda ordem, isto é,
;
(f) O(s) intervalo(s) em que a função tem concavidade voltada para cima e/ou para baixo;
(g) O(s) ponto(s) de Inflexão, caso exista(m);
(h) Os limites da função dada para
;
(i) O esboço do gráfico da função dada;
(j) A imagem da função dada.
(a) O domínio da função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso exista(m);
(b) A derivada de primeira ordem, isto é,
©
(d)
(e) A derivada de segunda ordem, isto é,
(f) O(s) intervalo(s) em que a função tem concavidade voltada para cima e/ou para baixo;
(g) O(s) ponto(s) de Inflexão, caso exista(m);
(h) Os limites da função dada para
(i) O esboço do gráfico da função dada;
(j) A imagem da função dada.
Passo 1
Neste exercício, temos a função
. O conteúdo principal é cálculo diferencial: vamos usar continuidade, derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, limites no infinito, esboço de gráfico e determinação da imagem.
Passo 2
Como
é um polinômio (produto de polinômios), o domínio é
e não há pontos de descontinuidade.
Passo 3
Para achar a derivada de primeira ordem, aplicamos a regra do produto em
e
:
$$f’(x)=u’v+uv’=2x,(x-3)^2 + x^2\cdot 2(x-3).
$$
Passo 4
Os pontos críticos vêm de
, então
resultando em
Passo 5
Para monotonicidade, estudamos o sinal de
em cada intervalo:
(-∞,0): (decrescente).
(0,\tfrac32): (crescente).
(\tfrac32,3): (decrescente).
(3,+∞): (crescente).
(-∞,0):
(0,\tfrac32):
(\tfrac32,3):
(3,+∞):
Passo 6
Com base no sinal de
, temos extremos locais:
– em ,
vai de negativo para positivo ⇒ mínimo local com
.
– em ,
vai de positivo para negativo ⇒ máximo local com
– em
– em
$$f(\tfrac32)=\Bigl(\tfrac32\Bigr)2\Bigl(-\tfrac32\Bigr)2=\frac{81}{16}.
$$
– em ,
vai de negativo para positivo ⇒ mínimo local com
.
– em
Passo 7
A derivada de segunda ordem vem de derivar
:
Passo 8
As raízes de
são
Dessa forma
Passo 9
Pontos de inflexão ocorrem onde
e a concavidade muda, ou seja em
, com
Passo 10
Como
é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, temos
Passo 11
Para esboçar o gráfico, note que a função é sempre
, toca o eixo
em
e
(raízes duplas), apresenta mínimo em 0, máximo em
e se comporta como: decresce até 0, cresce até
, decresce até 3 e cresce para +∞.
Resposta
(a) Domínio:
, sem descontinuidades. (b)
. © Cresce em
e
; decresce em
e
. (d) Mínimos locais em
e
com
; máximo local em
com
. (e)
. (f) Concavidade para cima em
; para baixo em
. (g) Pontos de inflexão em
com
. (h)
. (i) Gráfico: função ≥0, toca o eixo em 0 e 3, mínimo em 0, máximo em 1,5, inflexões em ≈0,634 e 2,366 conforme descrito. (j) Imagem:
.