(2,5 pontos) Dada a função f(x)=x^2 cdot(x-3)^2, pede-se:
(a) O domínio da função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso exista(m);
(b) A derivada de primeira ordem, isto é, f^prime(x);
© O(s) intervalo(s) de crescimento e de decrescimento da função;
(d) O(s) ponto(s) de máximo e mínimo relativo (local), caso exista(m);
(e) A derivada de segunda ordem, isto é, f^prime prime(x);
(f) O(s) intervalo(s) em que a função tem concavidade voltada para cima e/ou para baixo;
(g) O(s) ponto(s) de Inflexão, caso exista(m);
(h) Os limites da função dada para x +infty e x -infty;
(i) O esboço do gráfico da função dada;
(j) A imagem da função dada.

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x)=x^2(x-3)^2. O conteúdo principal é cálculo diferencial: vamos usar continuidade, derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, limites no infinito, esboço de gráfico e determinação da imagem.

Passo 2

Como f(x) é um polinômio (produto de polinômios), o domínio é R e não há pontos de descontinuidade.

Passo 3

Para achar a derivada de primeira ordem, aplicamos a regra do produto em u=x^2 e v=(x-3)^2:
$$f’(x)=u’v+uv’=2x,(x-3)^2 + x^2\cdot 2(x-3).
f'(x)=u'v+uv'=2x,(x-3)^2 + x^2cdot 2(x-3) êf’(x)=2x(x-3)(2x-3).
$$

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, então
2x(x-3)(2x-3)=0
resultando em x=0, x=3 e x=tfrac32.

Passo 5

Para monotonicidade, estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
(-∞,0): f'<0 (decrescente).
(0,\tfrac32): f'>0 (crescente).
(\tfrac32,3): f'<0 (decrescente).
(3,+∞): f'>0 (crescente).

Passo 6

Com base no sinal de f', temos extremos locais:
– em x=0, f' vai de negativo para positivo ⇒ mínimo local com f(0)=0.
– em x=tfrac32, f' vai de positivo para negativo ⇒ máximo local com
$$f(\tfrac32)=\Bigl(\tfrac32\Bigr)2\Bigl(-\tfrac32\Bigr)2=\frac{81}{16}.
$$
– em f(tfrac32)=l(tfrac32r)^2l(-tfrac32r)^2=8116 , x=3 vai de negativo para positivo ⇒ mínimo local com f'.

Passo 7

A derivada de segunda ordem vem de derivar f'(x)=4x^3-18x^2+18x:
f''(x)=12x^2-36x+18

Passo 8

As raízes de f''(x)=0 são
2x^2-6x+3=0Longrightarrow x=3pmraiz32
Dessa forma f''(x)>0 em ( -infty,tfrac3-raiz32)cup(tfrac3+raiz32,infty) (concavidade para cima) e f''(x)<0 em (tfrac3-raiz32,tfrac3+raiz32) (concavidade para baixo).

Passo 9

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e a concavidade muda, ou seja em x=tfrac3pmraiz32, com
fl(tfrac3pmraiz32r)=94

Passo 10

Como f(x) é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, temos
limxtopminftyf(x)=+infty

Passo 11

Para esboçar o gráfico, note que a função é sempre >=0, toca o eixo x em x=0 e x=3 (raízes duplas), apresenta mínimo em 0, máximo em x=tfrac32 e se comporta como: decresce até 0, cresce até tfrac32, decresce até 3 e cresce para +∞.

Resposta

(a) Domínio: R, sem descontinuidades. (b) f'(x)=2x(x-3)(2x-3). © Cresce em (0,tfrac32) e (3,infty); decresce em (tfrac32,3) e x=0. (d) Mínimos locais em x=3 e f=0 com x=tfrac32; máximo local em f=tfrac8116 com f''(x)=12x^2-36x+18. (e) (tfrac3-raiz32,tfrac3+raiz32). (f) Concavidade para cima em x=tfrac3pmraiz32; para baixo em f=tfrac94. (g) Pontos de inflexão em limxtopminftyf(x)=+∞ com [0,∞). (h) . (i) Gráfico: função ≥0, toca o eixo em 0 e 3, mínimo em 0, máximo em 1,5, inflexões em ≈0,634 e 2,366 conforme descrito. (j) Imagem: .

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