Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=2 x^3 e^x em x=2

Passo 1

A função dada é f(x)=2x{3}e{x}. O conteúdo envolve derivada de produto e a derivada da exponencial. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a propriedade de que d(e^{x})/dx = e^{x}.

Passo 2

Separemos a função em duas partes: u(x)=2x^{3} e v(x)=e^{x}. Pela regra do produto, f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais: u’(x)=6x^{2} e, já v’(x)=e^{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos:
f'(x)=6x^2e^x+2x^3e^x=e^x(6x^2+2x^3)=2x^2e^x(3+x)

Passo 5

Agora, avalie em x=2:
f'(2)=2cdot2^2e^2(3+2)=40e^2

Resposta

f'(x)=2x^2e^x(3+x) e f'(2)=40e^2

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