Faça o que se pede em cada um dos itens a seguir.
Resolva a equação (1) usando um método diferente do utilizado na questão 2.
Equação (1):
Resolva a equação (1) usando um método diferente do utilizado na questão 2.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para resolver essa equação (ou seja, encontrar a solução geral
). As informações relevantes que temos são:
- A equação é de primeira ordem e linear em
. - Não há condições iniciais fornecidas, portanto vamos procurar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver
Uma maneira simples de resolver essa homogênea é separar variáveis: escrever
e reorganizar como
Agora separamos as variáveis
e
:
Explico rapidamente por que podemos fazer isso: estamos assumindo
localmente; ao separar, colocamos todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, de modo a integrar ambos os lados.
Passo 3
Integramos os dois lados:
As integrais são elementares. À esquerda obtemos
. À direita,
. Logo
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Assim a solução geral da homogênea pode ser escrita (absorvendo o sinal e
numa constante arbitrária
) como
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 4
Agora vamos usar o método da variação da constante (variação de parâmetros) para achar uma solução particular da equação não homogênea. A ideia é permitir que a constante
da solução homogênea seja uma função
. Assim propomos
Explico: isso tenta aproveitar a forma da solução homogênea, mas deixando a “constante” variar para compensar o termo não homogêneo
do lado direito.
Passo 5
Calculamos a derivada
. Usando a regra do produto e sabendo que
, obtemos
Agora somamos
como na equação original:
Os dois últimos termos se cancelam porque
. Logo sobra
A equação original pede que isso seja igual a
, portanto
Isolando
,
Passo 6
Agora integramos para obter
:
Fazemos a substituição
, então
. A integral fica
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 7
Voltando para
, substituímos
:
Aqui
é uma constante arbitrária real, que pode ser renomeada simplesmente como
. Essa é a solução geral da equação diferencial. Para ter certeza de que está correta, podemos verificar rapidamente: calcule
e substitua na equação para ver que
se satisfaz — a verificação é direta e confirma a solução.