Faça o que se pede em cada um dos itens a seguir.
Resolva a equação (1) usando um método diferente do utilizado na questão 2.
Equação (1):
y^{\prime}+x y=x .

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y^{\prime}+x y=x
e pede para resolver essa equação (ou seja, encontrar a solução geral y(x)). As informações relevantes que temos são:
  • A equação é de primeira ordem e linear em y.
  • Não há condições iniciais fornecidas, portanto vamos procurar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver
y^{\prime}+x y=0.
Uma maneira simples de resolver essa homogênea é separar variáveis: escrever y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e reorganizar como
\frac{dy}{dx}=-x y.
Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy=-x\,dx.
Explico rapidamente por que podemos fazer isso: estamos assumindo y\neq0 localmente; ao separar, colocamos todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, de modo a integrar ambos os lados.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int -x\,dx.
As integrais são elementares. À esquerda obtemos \ln|y|. À direita, \int -x\,dx = -\dfrac{x^{2}}{2}. Logo
\ln|y|=-\frac{x^{2}}{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}} = e^{C_{1}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
Assim a solução geral da homogênea pode ser escrita (absorvendo o sinal e e^{C_{1}} numa constante arbitrária C) como
y_{h}(x)=C e^{-\frac{x^{2}}{2}},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 4

Agora vamos usar o método da variação da constante (variação de parâmetros) para achar uma solução particular da equação não homogênea. A ideia é permitir que a constante C da solução homogênea seja uma função u(x). Assim propomos
y(x)=u(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
Explico: isso tenta aproveitar a forma da solução homogênea, mas deixando a “constante” variar para compensar o termo não homogêneo x do lado direito.

Passo 5

Calculamos a derivada y'. Usando a regra do produto e sabendo que \dfrac{d}{dx}e^{-x^{2}/2}=-x e^{-x^{2}/2}, obtemos
y'=u'(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}} + u(x)\left(-x e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right).
Agora somamos x y como na equação original:
y' + x y = u'(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}} + u(x)\left(-x e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right) + x\big(u(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}\big).
Os dois últimos termos se cancelam porque -x u e^{-x^{2}/2} + x u e^{-x^{2}/2}=0. Logo sobra
y' + x y = u'(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
A equação original pede que isso seja igual a x, portanto
u'(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}} = x.
Isolando u',
u'(x)=x\,e^{\frac{x^{2}}{2}}.

Passo 6

Agora integramos para obter u(x):
u(x)=\int x\,e^{\frac{x^{2}}{2}}\,dx.
Fazemos a substituição t=\dfrac{x^{2}}{2}, então dt=x\,dx. A integral fica
u(x)=\int e^{t}\,dt = e^{t}+C_{2}=e^{\frac{x^{2}}{2}}+C_{2},
onde C_{2} é constante de integração. Portanto
u(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}+C_{2}.

Passo 7

Voltando para y(x)=u(x)\,e^{-x^{2}/2}, substituímos u:
y(x)=\big(e^{\frac{x^{2}}{2}}+C_{2}\big)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}} = 1 + C_{2}\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
Aqui C_{2} é uma constante arbitrária real, que pode ser renomeada simplesmente como C. Essa é a solução geral da equação diferencial. Para ter certeza de que está correta, podemos verificar rapidamente: calcule y' e substitua na equação para ver que y'+x y=x se satisfaz — a verificação é direta e confirma a solução.

Resposta

y(x)=1+C\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}

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