Resolva as equações diferenciais a seguir:
y^{\prime}=\frac{7 x^{2}+8 x y+2 y^{2}}{3 x^{2}+2 x y}.
Dica: divida o numerador e o denominador por x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{7x^{2}+8xy+2y^{2}}{3x^{2}+2xy}.
Informações e observações iniciais retiradas do enunciado:
  • A dica diz para dividir numerador e denominador por x^{2}; isso indica que a razão entre polinômios de mesmo grau é uma função de y/x (equação homogênea de grau zero).
  • Como vamos dividir por x^{2}, é necessário ter x\neq0 no processo de resolução.
  • O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) e também verificar soluções especiais que possam aparecer (linhas do tipo y=kx).

Passo 2

Fazemos a substituição típica para equações homogêneas: definir
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Diferenciando em relação a x,
y'=\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora dividimos numerador e denominador da RHS por x^{2} (peguei isso da dica):
\frac{7x^{2}+8xy+2y^{2}}{3x^{2}+2xy} = \frac{7+8v+2v^{2}}{3+2v},
porque \dfrac{y}{x}=v. Substituindo em y'= RHS, obtemos a equação em v:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{7+8v+2v^{2}}{3+2v}.
Isolando x\,dv/dx,
x\frac{dv}{dx}=\frac{7+8v+2v^{2}}{3+2v}-v.

Passo 3

Simplificamos o lado direito com denominador comum 3+2v:
\frac{7+8v+2v^{2}-v(3+2v)}{3+2v} =\frac{7+8v+2v^{2}-3v-2v^{2}}{3+2v} =\frac{7+5v}{3+2v}.
Portanto a equação reduz-se a
x\frac{dv}{dx}=\frac{7+5v}{3+2v}.
Antes de separar variáveis, verificamos soluções constantes v= constante (que correspondem a retas y=kx). Para v constante precisamos de dv/dx=0, então
0=\frac{7+5v}{3+2v}\quad\Rightarrow\quad 7+5v=0\quad\Rightarrow\quad v=-\frac{7}{5}.
Isso gera a solução particular
y=-\frac{7}{5}x.
(Verificação rápida: substituir y=-\tfrac{7}{5}x na equação original dá y'=-\tfrac{7}{5} e a RHS também avalia -\tfrac{7}{5}, logo é solução válida.)

Passo 4

Para a solução geral, se v\neq -\tfrac{7}{5} podemos separar as variáveis:
\frac{3+2v}{7+5v}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Integramos a esquerda fazendo uma divisão algébrica do integrando:
procuramos constantes A e B tais que
\frac{3+2v}{7+5v}=A+\frac{B}{7+5v}.
Multiplicando ambos os lados por 7+5v:
3+2v = A(7+5v)+B = 7A +5A v +B.
Comparando coeficientes de v e termos constantes:
5A = 2 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{5},
7A + B = 3 \quad\Rightarrow\quad B = 3-7\cdot\frac{2}{5}=3-\frac{14}{5}=\frac{1}{5}.
Logo
\frac{3+2v}{7+5v}=\frac{2}{5}+\frac{1/5}{7+5v}.
Integramos:
\int\frac{3+2v}{7+5v}\,dv=\int\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{7+5v}\right)dv =\frac{2}{5}v+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\ln|7+5v|+\text{const}.
Porque \int \frac{1}{7+5v}\,dv=\frac{1}{5}\ln|7+5v|. Assim a integração dá
\frac{2}{5}v+\frac{1}{25}\ln|7+5v|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Multiplicamos por 25 para limpar frações:
10v+\ln|7+5v|=25\ln|x|+C_{1},
com C_{1}=25C. Voltando à variável original y usando v=y/x,
10\frac{y}{x}+\ln\!\biggl|7+5\frac{y}{x}\biggr|=25\ln|x|+C_{1}.
Podemos reescrever o logaritmo usando 7+5\frac{y}{x}=\dfrac{7x+5y}{x}, então
\ln\!\biggl|7+5\frac{y}{x}\biggr|=\ln|7x+5y|-\ln|x|.
Substituindo nesta expressão e recolhendo os termos em \ln|x|,
10\frac{y}{x}+\ln|7x+5y|-\ln|x|=25\ln|x|+C_{1}
\Longrightarrow\quad \ln|7x+5y|+10\frac{y}{x}=26\ln|x|+C_{1}.
Podemos agrupar a constante em C final. Portanto a solução geral implícita é
\ln|7x+5y|+10\frac{y}{x}-26\ln|x|=C,
onde C é constante arbitrária, válida para x\neq0 e v\neq -\tfrac{7}{5} (a solução v=-\tfrac{7}{5} já foi listada separadamente).

Resposta

\displaystyle \ln|7x+5y|+10\frac{y}{x}-26\ln|x|=C
\displaystyle y=-\frac{7}{5}x

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