Resolva as equações diferenciais a seguir: y^{\prime}=\frac{7 x^{2}+8 x y+2 y^{2}}{3 x^{2}+2 x y}.
Dica: divida o numerador e o denominador por x^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{7x^{2}+8xy+2y^{2}}{3x^{2}+2xy}.
Informações e observações iniciais retiradas do enunciado:
A dica diz para dividir numerador e denominador por x^{2}; isso indica que a razão entre polinômios de mesmo grau é uma função de y/x (equação homogênea de grau zero).
Como vamos dividir por x^{2}, é necessário ter x\neq0 no processo de resolução.
O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) e também verificar soluções especiais que possam aparecer (linhas do tipo y=kx).
Passo 2
Fazemos a substituição típica para equações homogêneas: definir
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Diferenciando em relação a x,
y'=\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora dividimos numerador e denominador da RHS por x^{2} (peguei isso da dica):
Antes de separar variáveis, verificamos soluções constantes v= constante (que correspondem a retas y=kx). Para v constante precisamos de dv/dx=0, então