Mostre que, se
são eventos do espaço amostral, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas as famílias de eventos
do espaço amostral, vale a igualdade
Informações dadas: os conjuntos
estão definidos no mesmo espaço amostral. A tarefa é provar a igualdade entre dois conjuntos (ou eventos). Não há outras hipóteses ocultas.
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas e como trabalhar com pertencimento de elementos (isso é fundamental para provas com conjuntos):
Estas equivalências transformam afirmações sobre conjuntos em afirmações lógicas com quantificadores
(para todo) e
(existe), o que facilita aplicar a negação.
Passo 3
Estratégia da prova (método): provar igualdade de conjuntos mostrando duas inclusões:
Se cada lado está contido no outro, então os dois conjuntos são iguais. Este é um método padrão e direto.
Passo 4
Prova da primeira inclusão:
Prove que .
Prove que
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo significado de complementar, isso equivale a
Pelo significado de interseção,
significa que não é verdade que
pertence a todos os
. Em lógica isso se escreve como a negação de um “para todo”, e a negação de
é
: existe pelo menos um índice
tal que
Mas
é exatamente
. Logo existe um
com
, o que pelo significado de união dá
Como
foi arbitrário, concluímos
Passo 5
Prova da segunda inclusão:
Prove que .
Prove que
Seja
tal que
Pelo significado de união, existe um índice
com
Pelo significado de complementar, isso significa
. Se
para esse
, então não é verdadeiro que
pertença a todos os
; isto é,
. Aplicando a definição de complementar novamente, obtemos
Como
foi arbitrário, segue que
Passo 6
Conclusão: pelas duas inclusões das Passos 4 e 5, temos igualdade:
Intuitivamente: "não estar em todos os
" é o mesmo que "estar em pelo menos um complemento
". Isso é a versão em conjuntos da lei de De Morgan para uma conjunção finita.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a ideia (pequeno e prático):
Considere e eventos
. A fórmula diz
Considere
Interprete: um resultado está fora da interseção
exatamente quando falha em entrar em pelo menos um dos eventos
ou
. Esse exemplo facilita lembrar a regra na prova: a negação de “tudo ao mesmo tempo” vira “alguma coisa falha”.