Seja alpha(t)=(13, 13, 13)+(-raiz33 cos t+13 sen t, raiz33 cos t+13 sen t,-23 sen t), com t in[0,2 pi].
Determine a expressão da curvatura de alpha.

Passo 1

A questão pede a curvatura de uma curva no espaço dada por alpha(t)=l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r)+f(t) com
f(t)=l(-tfracraiz33cos t+tfrac13sin t,;tfracraiz33cos t+tfrac13sin t,;-tfrac23sin tr)
O conteúdo é cálculo de curvas em R^3 e vamos usar a definição de curvatura
kappa(t)=lVertalpha'(t)timesalpha''(t)rVertlVertalpha'(t)rVert^3

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de alpha. Como alpha(t)=c+f(t) e c é constante, temos
alpha'(t)=f'(t)=l(tfracraiz33sin t+tfrac13cos t,;-tfracraiz33sin t+tfrac13cos t,;-tfrac23cos tr),
alpha''(t)=f''(t)=l(tfracraiz33cos t-tfrac13sin t,;-tfracraiz33cos t-tfrac13sin t,;tfrac23sin tr)

Passo 3

Agora percebemos que o tamanho da velocidade é constante. De fato,
lVertalpha'(t)rVert^2=tfrac23LongrightarrowlVertalpha'(t)rVert=raiztfrac23
Além disso, a parte vetorial f(t) satisfaz
lVert f(t)rVert^2=tfrac23Longrightarrow f(t) descreve um círculo de raio R=raiztfrac23 í
Para um círculo no espaço a curvatura é simplesmente 1/R, independente da parametrização.

Passo 4

Portanto a curvatura de alpha é constante e vale
kappa=1R=1raiz2/3=raiztfrac32

Resposta

kappa(t)=raiztfrac32, constante.

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