Faça o que se pede
d) O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva y= raiz[3]x, o eixo OX e as retas x=-1 e x=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado girando em torno do eixo OX a região delimitada pela curva $ y = \sqrt[3]{x} $, pelo próprio eixo OX e pelas retas $ x = -1 $ e $ x = 8 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a região é girada em torno do eixo X, cada fatia perpendicular ao eixo X forma um disco. O volume de cada disco pode ser calculado pela fórmula:
V = pi [f(x)]^2 , dx
Aqui, $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ é a função que define a curva, e $ dx $ é a espessura infinitesimal do disco.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral que representa o volume total do sólido. Precisamos integrar de $ x = -1 $ até $ x = 8 $:
x = -1
Simplificando a expressão dentro da integral:
x = 8
Então, a integral fica:
V = pi integral-1^8 ( raiz[3]x )^2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral x^2/3 , dx = 35 x^5/3 + C
Aplicando os limites de integração de -1 a 8:
V = pi [ 35 x^5/3 ]-1^8 = pi ( 35 cdot 8^5/3 - 35 cdot (-1)^5/3 )
Calculando $ 8^{5/3} $:
8^5/3
E $ (-1)^{5/3} = -1 $ (já que a raiz cúbica de -1 é -1 e elevado ao quadrado fica -1 novamente):
8^5/3 = (2^3)^5/3 = 2^5 = 32

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{99}{5}\pi $ unidades cúbicas.

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