Faça o que se pede
d) O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva
, o eixo OX e as retas
e
d) O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado girando em torno do eixo OX a região delimitada pela curva $ y = \sqrt[3]{x} $, pelo próprio eixo OX e pelas retas $ x = -1 $ e $ x = 8 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a região é girada em torno do eixo X, cada fatia perpendicular ao eixo X forma um disco. O volume de cada disco pode ser calculado pela fórmula:
Aqui, $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ é a função que define a curva, e $ dx $ é a espessura infinitesimal do disco.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral que representa o volume total do sólido. Precisamos integrar de $ x = -1 $ até $ x = 8 $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração de -1 a 8:
Calculando $ 8^{5/3} $:
E $ (-1)^{5/3} = -1 $ (já que a raiz cúbica de -1 é -1 e elevado ao quadrado fica -1 novamente):
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{99}{5}\pi $ unidades cúbicas.