Faça o que se pede
j) O volume do sólido obtido pela rotação da região C em torno do eixo OX , onde C é a região limitada pela curva
e pelo eixo OX
j) O volume do sólido obtido pela rotação da região C em torno do eixo OX , onde C é a região limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região $ C $ em torno do eixo $ OX $. A região $ C $ é limitada pela curva $ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} $ e pelo eixo $ OX $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos para volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar a região $ C $ ao redor do eixo $ OX $. Imagine que você tem a curva $ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} $ desenhada no plano cartesiano. A região $ C $ é a área entre essa curva e o eixo $ OX $. Ao girar essa área em torno do eixo $ OX $, formamos um sólido de revolução.
Passo 3
Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. A fórmula geral para o volume $ V $ de um sólido de revolução em torno do eixo $ OX $ é:
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites de integração que definem o intervalo no eixo $ x $ sobre o qual a região $ C $ está limitada.
Passo 4
No nosso caso, a função $ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} $ se estende infinitamente nos dois lados do eixo $ x $, mas como ela tende a zero quando $ x $ vai para $ \pm\infty $, podemos considerar os limites de integração de $ -\infty $ a $ +\infty $. Então, a fórmula fica assim:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
A integral que precisamos resolver é:
Passo 6
Essa integral é uma conhecida no cálculo e seu valor é $ \frac{\pi}{2} $. Portanto, substituindo de volta na fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região $ C $ em torno do eixo $ OX $ é $ \frac{\pi^{2}}{2} $.