Faça o que se pede
j) O volume do sólido obtido pela rotação da região C em torno do eixo OX , onde C é a região limitada pela curva f(x)=11+x^2 e pelo eixo OX

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região $ C $ em torno do eixo $ OX $. A região $ C $ é limitada pela curva $ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} $ e pelo eixo $ OX $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos para volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar a região $ C $ ao redor do eixo $ OX $. Imagine que você tem a curva $ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} $ desenhada no plano cartesiano. A região $ C $ é a área entre essa curva e o eixo $ OX $. Ao girar essa área em torno do eixo $ OX $, formamos um sólido de revolução.

Passo 3

Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. A fórmula geral para o volume $ V $ de um sólido de revolução em torno do eixo $ OX $ é:
V
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites de integração que definem o intervalo no eixo $ x $ sobre o qual a região $ C $ está limitada.

Passo 4

No nosso caso, a função $ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} $ se estende infinitamente nos dois lados do eixo $ x $, mas como ela tende a zero quando $ x $ vai para $ \pm\infty $, podemos considerar os limites de integração de $ -\infty $ a $ +\infty $. Então, a fórmula fica assim:
f(x) = 11+x^2

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
( 11+x^2 )^2 = 1(1+x^2)^2
A integral que precisamos resolver é:
integral-infty^+infty 1(1+x^2)^2 , dx

Passo 6

Essa integral é uma conhecida no cálculo e seu valor é $ \frac{\pi}{2} $. Portanto, substituindo de volta na fórmula do volume:
pi2

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região $ C $ em torno do eixo $ OX $ é $ \frac{\pi^{2}}{2} $.

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