( 0,4 pts ) Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $ f(x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 2x + 1} $. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como a função se comporta quando $ x $ cresce ou quando o denominador se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto (se for zero, pode ser um buraco na função, não uma assíntota).
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Essa equação pode ser fatorada:
Agora, verificamos o numerador em $ x = 1 $:
Como ambos, numerador e denominador, são zero em $ x = 1 $, isso sugere que podemos simplificar a expressão para ver se é realmente uma assíntota vertical ou um buraco.
Passo 3
Vamos simplificar a função $ f(x) $:
Agora, cancelamos um $ (x - 1) $ do numerador e do denominador:
Após simplificar, percebemos que ainda temos um $ (x - 1) $ no denominador que não foi cancelado. Isso confirma que existe uma assíntota vertical em $ x = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
- Grau do numerador (após simplificação): 2 (porque $ x(x + 1) $ é $ x^2 + x $)
- Grau do denominador: 1
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, não existe assíntota horizontal. Ao invés disso, a função pode ter uma assíntota oblíqua, mas como a questão pede apenas as verticais e horizontais, não precisamos nos preocupar com isso agora.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em $ x = 1 $ e não possui assíntota horizontal.