( 0,4 pts ) Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
f(x)=x^3-xx^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $ f(x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 2x + 1} $. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como a função se comporta quando $ x $ cresce ou quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto (se for zero, pode ser um buraco na função, não uma assíntota).
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
x
Essa equação pode ser fatorada:
x^2 - 2x + 1 = 0
Agora, verificamos o numerador em $ x = 1 $:
(x - 1)^2 = 0 implies x = 1
Como ambos, numerador e denominador, são zero em $ x = 1 $, isso sugere que podemos simplificar a expressão para ver se é realmente uma assíntota vertical ou um buraco.

Passo 3

Vamos simplificar a função $ f(x) $:
f(x)
Agora, cancelamos um $ (x - 1) $ do numerador e do denominador:
f(x) = x^3 - xx^2 - 2x + 1 = x(x^2 - 1)(x - 1)^2 = x(x - 1)(x + 1)(x - 1)^2
Após simplificar, percebemos que ainda temos um $ (x - 1) $ no denominador que não foi cancelado. Isso confirma que existe uma assíntota vertical em $ x = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
  • Grau do numerador (após simplificação): 2 (porque $ x(x + 1) $ é $ x^2 + x $)
  • Grau do denominador: 1
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, não existe assíntota horizontal. Ao invés disso, a função pode ter uma assíntota oblíqua, mas como a questão pede apenas as verticais e horizontais, não precisamos nos preocupar com isso agora.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em $ x = 1 $ e não possui assíntota horizontal.

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