Faça o que se pede
Determine o menor número natural n tal que n ! é divisível por 990
Determine o menor número natural n tal que n ! é divisível por 990
Passo 1
A questão pede para encontrar o menor número natural
tal que
seja divisível por 990. Este problema envolve fatoração em primos e o cálculo de expoentes de primos em um fatorial.
Passo 2
Primeiro, fatoramos 990 em primos. Observamos que
Passo 3
Para que
seja divisível por 990, o expoente de cada primo em
deve ser pelo menos igual ao expoente correspondente em 990. O expoente de um primo
em
é dado por:
Passo 4
Agora, determinamos a menor condição em
para cada primo:
- Para
, basta ter . - Para
, precisamos de , o que ocorre a partir de . - Para
, basta . - Para
, precisamos de .
Das quatro condições, a mais restritiva é
, assegurando também os demais expoentes.
Resposta
11