Faça o que se pede
Determine o menor número natural n tal que n ! é divisível por 990

Passo 1

A questão pede para encontrar o menor número natural n tal que n! seja divisível por 990. Este problema envolve fatoração em primos e o cálculo de expoentes de primos em um fatorial.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 990 em primos. Observamos que
990 = 9 times 110 = 3^2 times 11 times (2 times 5) = 2 times 3^2 times 5 times 11

Passo 3

Para que n! seja divisível por 990, o expoente de cada primo em n! deve ser pelo menos igual ao expoente correspondente em 990. O expoente de um primo p em n! é dado por:
sumk=1^infty lfloornp^krfloor

Passo 4

Agora, determinamos a menor condição em n para cada primo:
  • Para 2^1, basta ter n>=2.
  • Para 3^2, precisamos de lfloor n/3rfloor + lfloor n/9rfloor >= 2, o que ocorre a partir de n=6.
  • Para 5^1, basta n>=5.
  • Para 11^1, precisamos de n>=11.
Das quatro condições, a mais restritiva é n>=11, assegurando também os demais expoentes.

Resposta

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