Na organização de uma festa de aniversário estão disponíveis 180 balas de caramelo, 252 balas de laranja e 324 balas de iogurte. Pretende-se dividir as balas em pacotes que contenham os três sabores, que cada pacote tenha a mesma quantidade dos tipos de balas e, que não sobre bala após a divisão. Supondo que toda criança, e somente criança, receba um pacote de bala. Responda:
Quantas crianças no máximo, podem participar dessa festa? E,

Passo 1

O enunciado pede dividir 180 balas de caramelo, 252 de laranja e 324 de iogurte em pacotes idênticos (mesma quantidade de cada sabor em cada pacote), sem sobrar bala, de modo a maximizar o número de pacotes (crianças). Vamos usar teoria de divisores e máximo divisor comum (MDC).

Passo 2

Para que cada pacote tenha exatamente 180/p balas de caramelo, 252/p de laranja e 324/p de iogurte, todas essas quantidades devem ser inteiras. Isso significa que p deve dividir 180, 252 e 324. Para maximizar p, tomamos o MDC dos três números.

Passo 3

Calculando em etapas:
gcd(180,252)=36,
e então
gcd(36,324)=36
Portanto o número máximo de pacotes (crianças) é p=36.

Passo 4

Para saber quantas balas de cada sabor em cada pacote, dividimos cada total por 36:
Caramelo: 180/36=5
Laranja: 252/36=7
Iogurte: 324/36=9

Resposta

36 crianças; cada pacote contém 5 balas de caramelo, 7 balas de laranja e 9 balas de iogurte.

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