Faça o que se pede
Obter o resto da divisão de (1^10+2^10+3^10+ldots+100^10) por 11

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 1^10+2^10+3^10+ldots+100^10 por 11. O conteúdo principal envolve congruências modulares e o Teorema de Fermat, já que vamos usar a^10equiv1pmod11 para a que não seja múltiplo de 11.

Passo 2

Pelo Teorema de Fermat, se gcd(a,11)=1 então a^10equiv1pmod11. Além disso, se aequiv0pmod11 (ou seja, a é múltiplo de 11), então claramente a^10equiv0pmod11.

Passo 3

Podemos agrupar os números de 1 a 100 em ciclos de tamanho 11. Como 100=9times11+1, há 9 ciclos completos de 11 números (1 a 99) e sobra o número 100.

Passo 4

Em cada ciclo de 11 números aparecem 10 números não múltiplos de 11, cada um dando resto 1, e um múltiplo de 11 dando resto 0. Logo cada ciclo soma 10times1+0=10equiv10pmod11. Para 9 ciclos temos 9times10=90equiv2pmod11.

Passo 5

Falta incluir o número 100. Como 100equiv1pmod11, temos 100^10equiv1^10=1pmod11. Somando com os ciclos dá 2+1=3.

Resposta

3

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