partial fpartial y(x, y)=cos thetar partial Fpartial theta(r, theta)+sin theta partial Fpartial r(r, theta)
Como fica a expressão de partial fpartial x(x, y) ? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a expressão de partial fpartial x(x,y) sabendo que f(x,y)=F(r,theta) em coordenadas polares e que já temos partial fpartial y(x,y). O conteúdo é aplicação da regra de cadeia para funções compostas em coordenadas polares.

Passo 2

Pela regra de cadeia, escrevemos
partial fpartial x=partial Fpartial r,partial rpartial x+partial Fpartialtheta,partialthetapartial x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de r=raizx^2+y^2 e theta=arctan(y/x):
partial rpartial x=xraizx^2+y^2=costheta,
partialthetapartial x=-yx^2+y^2=-sinthetar

Passo 4

Substituindo na regra de cadeia:
partial fpartial x=partial Fpartial rcostheta+partial Fpartialthetal(-sinthetarr)

Passo 5

Agrupando termos, obtemos:
partial fpartial x(x,y)=costheta,partial Fpartial r(r,theta)-sinthetar,partial Fpartialtheta(r,theta)

Resposta

partial fpartial x(x,y)=costheta,partial Fpartial r(r,theta)-sinthetar,partial Fpartialtheta(r,theta)

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