Faça o que se pede.
Esboce o gráfico da função f(x)=log a x se a>1.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de logax para a>1. O conteúdo envolvido é a função logarítmica, que é o inverso da exponencial a^x. Para resolver, vamos usar as propriedades de domínio, monotonicidade, pontos notáveis e assíntota.

Passo 2

Determine domínio, imagem, intercepto e assíntota:
– Domínio: (0,infty), pois só existe logaritmo de x>0.
– Imagem: (-infty,infty), pois à medida que x varia em (0,infty), loga x percorre todos os reais.
– Intercepto com o eixo x: loga1=0, logo passa por (1,0).
– Assíntota vertical: como limxto0^+loga x=-infty, a reta x=0 é assíntota.

Passo 3

Estude monotonicidade e concavidade:
– Derivada:
ddxloga x ;=;1xln a;>;0para x>0 e a>1,
logo a função é estritamente crescente.
– Segunda derivada:
d^2dx^2loga x ;=;-,1x^2ln a;<0,
logo é côncava para baixo.
Pontos adicionais:
loga a=1 em (a,1) e loga(a^-1)=-1 em l(a^-1,-1r).

Passo 4

Relação com exponencial: o gráfico de loga x é a reflexão do gráfico de y=a^x na reta y=x. Assim, ele sobe devagar para a direita, atravessa (1,0) e se aproxima da assíntota x=0 à esquerda.

Resposta

Para esboçar, desenhe:
– Eixos coordenados com x>0.
– Assíntota vertical x=0.
– Pontos (1,0), (a,1) e l(a^-1,-1r).
– Curva crescente e côncava para baixo que, ao ir de xto0^+, cai para -infty, e ao ir para xtoinfty, cresce sem limite.

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