Problema 3 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguinte função, caso exista:
f(t)=e^-2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = e^-2t . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e entender passo a passo como aplicá-la nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo f(t) em uma função de outra variável, geralmente s , facilitando a resolução de equações diferenciais. A definição da transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Então, a gente vai aplicar essa fórmula na nossa função f(t) = e^-2t .

Passo 3

Vamos substituir f(t) pela função dada na definição. Ficaria assim:
Le^-2t = integral0^infty e^-st cdot e^-2t , dt
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 4

A gente pode combinar os expoentes que estão com base e :
e^-st cdot e^-2t = e^-(s + 2)t
Então, a integral fica:
integral0^infty e^-(s + 2)t , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral0^infty e^-at , dt = 1a, onde a > 0
No nosso caso, a = s + 2 , então a integral fica:
1s + 2

Passo 6

Porém, é importante lembrar que essa transformada existe somente se s + 2 > 0 , ou seja, s > -2 .

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = e^-2t é:
Le^-2t = 1s + 2, para s > -2

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