Problema 3 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguinte função, caso exista:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é muito útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e entender passo a passo como aplicá-la nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo
em uma função de outra variável, geralmente
, facilitando a resolução de equações diferenciais. A definição da transformada de Laplace é:
Então, a gente vai aplicar essa fórmula na nossa função
.
Passo 3
Vamos substituir
pela função dada na definição. Ficaria assim:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 4
A gente pode combinar os expoentes que estão com base
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:
No nosso caso,
, então a integral fica:
Passo 6
Porém, é importante lembrar que essa transformada existe somente se
, ou seja,
.
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: