Faça o que se pede
f) descreva o volume do sólido S como uma integral definida. S é gerado pela rotação da região R , limitada pela curva
e o eixo OX com
.
f) descreva o volume do sólido S como uma integral definida. S é gerado pela rotação da região R , limitada pela curva
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos descrever o volume de um sólido $ S $ que é formado pela rotação da região $ R $ em torno do eixo $ OX $. A região $ R $ é limitada pela curva $ y = \sin(3x) $ e pelo eixo $ OX $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 2\pi $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, entendemos que quando rotacionamos a curva $ y = \sin(3x) $ em torno do eixo $ OX $, cada pequeno pedaço da curva forma um disco. A área desse disco depende da função $ y $ no ponto considerado.
Passo 3
A área de um disco é dada por $ \pi $ vezes o raio ao quadrado. Aqui, o raio é a função $ y = \sin(3x) $. Então, a área do disco é:
Passo 4
Para encontrar o volume total do sólido $ S $, precisamos somar as áreas de todos esses discos ao longo do intervalo de $ x $ de $ 0 $ a $ 2\pi $. Isso é feito através de uma integral definida.
Passo 5
Assim, o volume $ V $ do sólido $ S $ é dado pela integral de $ A(x) $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido $ S $ é