Faça o que se pede
i) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo OX da região B delimitada pela curva f(x)=-1+raizx+1 e as retas x=-1 e x=3

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de volumes por rotação. A questão pede para calcular o volume do sólido formado ao girar, em torno do eixo OX, a região delimitada pela curva $ f(x) = -1 + \sqrt{x+1} $ e pelas retas verticais $ x = -1 $ e $ x = 3 $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o método dos discos. Quando giramos uma região ao redor do eixo X, cada pequeno pedaço da função se torna um disco com raio igual ao valor da função naquele ponto. O volume de cada disco é dado por $ \pi \times (raio)^2 \times espessura $. Para encontrar o volume total, integramos isso de $ x = -1 $ a $ x = 3 $.

Passo 3

Identificamos o raio de cada disco. Aqui, o raio é dado pela função $ f(x) = -1 + \sqrt{x+1} $. Portanto, o raio ao longo de $ x $ é $ f(x) $, e a área do disco é $ \pi [f(x)]^2 $.

Passo 4

Configuramos a integral para calcular o volume:
V = pi integral-1^3 [f(x)]^2 , dx = pi integral-1^3 ( -1 + raizx+1 )^2 , dx

Passo 5

Expandimos o quadrado dentro da integral:
( -1 + raizx+1 )^2 = 1 - 2raizx+1 + (x+1)
Simplificando:
= x + 2 - 2raizx+1

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
V = pi integral-1^3 ( x + 2 - 2raizx+1 ) , dx
Separando a integral:
V = pi ( integral-1^3 x , dx + integral-1^3 2 , dx - integral-1^3 2raizx+1 , dx )

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:
  1. $ \int_{-1}^{3} x , dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4 $
  2. $ \int_{-1}^{3} 2 , dx = 2x \big|_{-1}^{3} = 6 - (-2) = 8 $
  3. $ \int_{-1}^{3} 2\sqrt{x+1} , dx $
    • Fazemos a substituição $ u = x + 1 $, então $ du = dx $
    • Os limites mudam de $ x = -1 $ para $ u = 0 $ e $ x = 3 $ para $ u = 4 $
    • A integral fica $ 2 \int_{0}^{4} \sqrt{u} , du = 2 \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{4}{3} (8) = \frac{32}{3} $

Passo 8

Substituímos os resultados das integrais:
V = pi ( 4 + 8 - 323 ) = pi ( 12 - 323 ) = pi ( 363 - 323 ) = pi ( 43 ) = 4pi3

Resposta

O volume do sólido gerado é $ \frac{4\pi}{3} $ unidades cúbicas.

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