Faça o que se pede:
A função
é homogênea? Justifique!
A função
Passo 1
Então, pessoal, a gente vai analisar a função $ f(x, y) = \frac{x^{3} + 2xy{2}}{x{3} - y^{3}} $ para ver se ela é homogênea. Vamo usar o conceito de função homogênea, que basicamente nos ajuda a identificar se a função pode ser reescrita de uma forma que depende apenas de uma combinação específica das variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa função homogênea e como aplicar o teste de homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é dita homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicar todas as variáveis por um mesmo número $ \lambda $, a função inteira é multiplicada por $ \lambda^{n} $. Matematicamente, isso é escrito como:
Nosso objetivo é encontrar esse $ n $ (se existir) para a função dada.
Passo 3
Vamos aplicar esse conceito à nossa função $ f(x, y) $. Primeiro, substituímos $ x $ por $ \lambda x $ e $ y $ por $ \lambda y $:
Agora, vamos simplificar cada termo.
Passo 4
Simplificando os termos no numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 5
Agora, simplificando o denominador:
Portanto, o denominador fica:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos:
As $ \lambda^{3} $ no numerador e denominador se cancelam:
Passo 7
Observamos que:
Comparando com a definição:
Vemos que $ \lambda^{n} = 1 $, o que só é verdadeiro para todo $ \lambda $ se $ n = 0 $.
Resposta
A função $ f(x, y) = \frac{x^{3} + 2xy{2}}{x{3} - y^{3}} $ é homogênea de grau 0.