Faça o que se pede:
A função f(x, y)=x^3+2 x y^2x^3-y^3 é homogênea? Justifique!

Passo 1

Então, pessoal, a gente vai analisar a função $ f(x, y) = \frac{x^{3} + 2xy{2}}{x{3} - y^{3}} $ para ver se ela é homogênea. Vamo usar o conceito de função homogênea, que basicamente nos ajuda a identificar se a função pode ser reescrita de uma forma que depende apenas de uma combinação específica das variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa função homogênea e como aplicar o teste de homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é dita homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicar todas as variáveis por um mesmo número $ \lambda $, a função inteira é multiplicada por $ \lambda^{n} $. Matematicamente, isso é escrito como:
f(x, y)
Nosso objetivo é encontrar esse $ n $ (se existir) para a função dada.

Passo 3

Vamos aplicar esse conceito à nossa função $ f(x, y) $. Primeiro, substituímos $ x $ por $ \lambda x $ e $ y $ por $ \lambda y $:
f(x, y)
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 4

Simplificando os termos no numerador:
(lambda x)^3 = lambda^3 x^3
2 (lambda x)(lambda y)^2 = 2 lambda x cdot lambda^2 y^2 = 2 lambda^3 x y^2
Então, o numerador fica:
lambda^3 x^3 + 2 lambda^3 x y^2 = lambda^3 (x^3 + 2x y^2)

Passo 5

Agora, simplificando o denominador:
(lambda x)^3 = lambda^3 x^3
(lambda y)^3 = lambda^3 y^3
Portanto, o denominador fica:
lambda^3 x^3 - lambda^3 y^3 = lambda^3 (x^3 - y^3)

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:
f(lambda x, lambda y) = lambda^3 (x^3 + 2x y^2)lambda^3 (x^3 - y^3)
As $ \lambda^{3} $ no numerador e denominador se cancelam:
lambda^3

Passo 7

Observamos que:
f(lambda x, lambda y) = f(x, y)
Comparando com a definição:
f(lambda x, lambda y) = lambda^n f(x, y)
Vemos que $ \lambda^{n} = 1 $, o que só é verdadeiro para todo $ \lambda $ se $ n = 0 $.

Resposta

A função $ f(x, y) = \frac{x^{3} + 2xy{2}}{x{3} - y^{3}} $ é homogênea de grau 0.

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