Considere o grupo cuja operação odot é definida por: [llbara & barb barc & bard] odot[llbare & barf barg & barh]=[lla e+b g & a f+b h c e+d g & 1c f+d h].
a) Prove que G é um grupo não abeliano de ordem 6. (2,0 pontos)
b) Determine o elemento inverso de [ll0 & 1 1 & 11] no grupo G. (1,0 ponto)
c) Resolva em G a equação X odot X odot X=[cc1 & 0 0 & 1rceil (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado define o conjunto G das matrizes 2×2 sobre Z₂ com determinante 1 e operação de multiplicação de matrizes módulo 2. O conteúdo é teoria de grupos lineares finitos (SL(2,2)≅GL(2,2)) e vamos precisar de: definição de grupo, contagem de elementos em GL(2,2), inversa de matriz 2×2 e cálculo de potências de matrizes em Z₂.
Passo 2
Em Z₂ a multiplicação de matrizes é fechada e associativa porque vem da multiplicação de matrizes sobre um corpo. O determinante em Z₂ satisfaz det(MN)=det(M)det(N), então se det(M)=det(N)=1, det(MN)=1. Logo G é fechado. A associatividade vem da associatividade usual.
A matriz identidade é I=1&00&1. Para cada M∈G o inverso existe e é dado pela adjunta vezes 1/det, mas como det=\overline{1} temos M^{-1}=adj(M). Portanto todo elemento tem inversa em G.
Passo 3
O número de matrizes invertíveis 2×2 sobre GF(2) (ou Z₂) é |GL(2,2)|=(22−1)(22−2)=3·2=6. Como em Z₂ todo elemento não nulo é invertível, GL(2,2)=SL(2,2)=G, logo |G|=6.
Passo 4
Para mostrar que G não é abeliano, basta escolher A=1&11&0 e B=0&11&1 e verificar que AB≠BA em Z₂.
Passo 5
Para o item b), seja M=0&11&1. O inverso é M^{-1}=adj(M) pois det(M)=\overline{1}. Calculando adj(M)=1&-1-1&0 e lembrando que −\overline{1}=\overline{1} em Z₂, obtemos M^{-1}=1&11&0.
Passo 6
Para o item c), a equação X⊗X⊗X=I em um grupo de ordem 6 implica que a ordem de X divide 3. Assim X pode ser de ordem 1 ou 3. O único elemento de ordem 1 é I, e os elementos de ordem 3 são justamente A e B definidos acima, pois A3=B3=I e A≠I≠B.
Portanto as soluções de X⊗X⊗X=I são X=I, X=A=1&11&0 e X=B=0&11&1.
Resposta
a) G é um grupo de ordem 6, não abeliano (é isomorfo a S₃). b) O inverso de 0&11&1 é 1&11&0. c) As soluções de Xodot Xodot X=I em G são X=I, X=1&11&0 e X=0&11&1.