Faça o que se pede
Obter o resto da divisão de 17^18+19^16 por 323

Passo 1

O enunciado pede para obter o resto da divisão de 17^18+19^16 por 323. O assunto é aritmética modular, e vamos precisar usar o fato de que 323=17cdot19, o Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema Chinês dos Restos.

Passo 2

Vamos calcular primeiro 17^18+19^16 em módulo 17. Note que 17equiv0pmod17 e 19equiv2pmod17. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, 2^16equiv1pmod17 Assim,
em módulo 17 temos
17^18+19^16equiv0^18+2^16equiv0+1=1pmod17

Passo 3

Agora calculamos em módulo 19. Temos 19equiv0pmod19 e 17equiv-2pmod19. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, como varphi(19)=18,
(-2)^18=2^18equiv1pmod19 Logo, em módulo 19
17^18+19^16equiv(-2)^18+0^16equiv1+0=1pmod19

Passo 4

Concluímos que o número procurado é congruente a 1 tanto módulo 17 quanto módulo 19. Pelo Teorema Chinês dos Restos, há solução única módulo 17cdot19=323, e ela é
igual a 1.

Resposta

1

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