que cai no conteúdo de sistemas lineares homogêneos e eliminação de Gauss. Na parte (b) precisamos provar que o conjunto solução desse tipo de sistema é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para eliminar a variável x. A matriz inicial é
Para eliminar a terceira coluna (variável z), usamos R_4\leftarrow R_4 + \tfrac{40}{9}R_3. A última linha torna-se
[\,0\;\;0\;\;0\;\;\tfrac{26}{9}\mid 0\,],
o que implica \tfrac{26}{9}w=0, logo w=0. Voltando a R_3 obtemos 3z - w=0, ou seja z=0. De R_2 segue 3y -8z -w=0, logo y=0. Finalmente de R_1 vem x+2y-8z=0, ou seja x=0.
Passo 5
Concluímos que a única solução do sistema é o vetor nulo:
(x,y,z,w)=(0,0,0,0).
Passo 6
Para a parte (b), note que o conjunto solução de um sistema homogêneo A\,x=0 é exatamente o núcleo \ker(A) de uma transformação linear x\mapsto A\,x.
Passo 7
Mostramos que \ker(A) é subespaço de \mathbb{R}^4 verificando três propriedades:
O vetor zero satisfaz A\cdot 0=0, logo 0\in\ker(A).
Se u,v\in\ker(A) então A(u+v)=Au+Av=0+0=0, logo u+v\in\ker(A).
Se u\in\ker(A) e \lambda\in\mathbb{R} então A(\lambda u)=\lambda(Au)=\lambda\cdot0=0, logo \lambda u\in\ker(A).
Resposta
a) A única solução é
(x,y,z,w)=(0,0,0,0).
b) O conjunto solução é \ker(A), e como \ker(A) contém 0 e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.