(1 ponto) Resolva
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-8 z=0 \\\\ -x+y+-w=0 \\\ x-y+3 z=0 \\\\ -3 x-2 y+6 w=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w. O conteúdo é resolução de sistema por eliminação de Gauss. Vamos expressar algumas variáveis em função das outras e verificar se há soluções não-triviais.

Passo 2

Da segunda e da terceira equações:
-\,x + y - w = 0
implica
x = y - w,
e
x - y + 3z = 0
implica
x = y - 3z.

Passo 3

Igualando as duas expressões para x:
y - w = y - 3z
segue
w = 3z
e, portanto,
x = y - 3z.

Passo 4

Substituindo x = y - 3z e w = 3z na primeira e na quarta equações:
(1) x + 2y - 8z = 0 fica
(y - 3z) + 2y - 8z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3y - 11z = 0.
(4) -3x - 2y + 6w = 0 fica
-3(y - 3z) - 2y + 6\cdot(3z) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -5y + 27z = 0.

Passo 5

Para existir solução não-trivial precisaríamos simultaneamente
3y = 11z \quad\text{e}\quad 5y = 27z.
Isso só ocorre quando y=0 e z=0. Logo de w=3z e x=y-3z segue w=0 e x=0.

Resposta

x = 0,\quad y = 0,\quad z = 0,\quad w = 0.

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