(2 pontos) Verifique se operador linear dado por T(x, y, z, w)=(x-2 z, 2 x+y, 0, x+z) é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D. Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.
Analisemos o autespaço de \lambda=0\), i.e.\ resolver \(A v=0\). Se \(v=(x,y,z,w)\), as equações são
\[\begin{cases} x-2z=0,\\\\ 2x+y=0,\\\\ 0=0,\\\ x+z=0. \end{cases}
Da primeira e da última temos x=2z\] e \(x+z=0\implies3z=0\implies z=0. Então x=0, y=-2x=0, e w fica livre. Assim o autespaço de \lambda=0 é gerado por (0,0,0,1) e tem dimensão 1.
Passo 6
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=0 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existe base de \mathbb{R}^4 formada por autovetores de T. Portanto Tnão é diagonalizável.
Resposta
O operador T não é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=0 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.