(2 pontos) Verifique se operador linear dado por T(x, y, z, w)=(x-2 z, 2 x+y, 0, x+z) é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D. Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\quad T(x,y,z,w)=(x-2z,\;2x+y,\;0,\;x+z)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos:
  1. Escrever a matriz de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico e extrair autovalores com suas multiplicidades algébricas.
  3. Determinar as dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas).
  4. Concluir sobre a diagonalizabilidade.

Passo 2

Vamos calcular T(e_i) para a base canônica e_1=(1,0,0,0), e_2=(0,1,0,0), e_3=(0,0,1,0), e_4=(0,0,0,1):
T(e_1)=(1,2,0,1), \quad T(e_2)=(0,1,0,0), \quad T(e_3)=(-2,0,0,1), \quad T(e_4)=(0,0,0,0).
Logo a matriz de T na base canônica é
A = [T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar o polinômio característico, calculamos
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I).
Expansão ao longo da terceira linha dá
\chi_A(\lambda) =(-\lambda)\, \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 2 & 1-\lambda& 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} =(-\lambda)\bigl((-\lambda)\,(1-\lambda)^2\bigr) =\lambda^2(1-\lambda)^2.

Passo 4

Os autovalores são
\lambda=0\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 5

Analisemos o autespaço de \lambda=0\), i.e.\ resolver \(A v=0\). Se \(v=(x,y,z,w)\), as equações são \[\begin{cases} x-2z=0,\\\\ 2x+y=0,\\\\ 0=0,\\\ x+z=0. \end{cases}
Da primeira e da última temos x=2z\] e \(x+z=0\implies3z=0\implies z=0. Então x=0, y=-2x=0, e w fica livre. Assim o autespaço de \lambda=0 é gerado por (0,0,0,1) e tem dimensão 1.

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica de \lambda=0 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existe base de \mathbb{R}^4 formada por autovetores de T. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

O operador T não é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=0 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.

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