Faça o que se pede:
a) ( 1 ponto) Sabendo que T é uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,0,0,-1), T(0,1,0)=(-1,-1,-1,1) e T(0,0,1)=(3,0,1,-2), obtenha T para todo (x, y, z).
b) ( 1 ponto) Obtenha \operatorname{Im}(T) e, a partir dessa informação, responda se T é inversível ou não. Justifique.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear \;T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4; pelos valores em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Pede-se:
a) a fórmula geral de T(x,y,z);
b) a imagem de T e, a partir disso, decidir se T é invertível.

Passo 2

Usamos a linearidade:
(x,y,z)=x\,(1,0,0)+y\,(0,1,0)+z\,(0,0,1),
logo
T(x,y,z) =x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Substituindo os vetores dados:
T(1,0,0)=(1,0,0,-1),\quad T(0,1,0)=(-1,-1,-1,1),\quad T(0,0,1)=(3,0,1,-2),
temos
T(x,y,z) =(\,x- y+3z,\;-y,\;-y+z,\;-x+y-2z\,).

Passo 3

Por definição, \displaystyle\operatorname{Im}(T)=\mathrm{span}\{T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1)\}\), isto é \[\operatorname{Im}(T) =\mathrm{span}\{(1,0,0,-1),\;(-1,-1,-1,1),\;(3,0,1,-2)\}.
Para ver que esses três vetores são L.I., suponha
a\,(1,0,0,-1)+b\,(-1,-1,-1,1)+c\,(3,0,1,-2)=(0,0,0,0).
As componentes obrigam
\begin{cases} a - b + 3c = 0,\\\\ -b = 0,\\\\ -b + c = 0,\\\\ -a + b -2c = 0, \end{cases}
da segunda vem b=0\], da terceira \(c=0, e da quarta a=0.
Logo são L.I. e \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=3.

Passo 4

Para uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 ser invertível, ela precisa ser bijetora.
Aqui \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4=\dim(\mathbb{R}^4),
então T não é sobrejetora e, portanto, não é invertível.

Resposta

a)
T(x,y,z)=(\,x - y +3z,\;-y,\;-y+z,\;-x+y-2z\,).
b) \displaystyle\operatorname{Im}(T) =\mathrm{span}\{(1,0,0,-1),(-1,-1,-1,1),(3,0,1,-2)\}, \dim(\operatorname{Im}(T))=3.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, T não é sobrejetora e, logo, não é invertível.

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