Para quais valores de k na equação \frac{x^{2}}{3 k+12}+\frac{y^{2}}{3 k-18}+\frac{z^{2}}{3 k-6}=1, teremos um hiperboloide de uma folha com elipses em y ?
Escolha uma opção:
O a. Não é possível
b. -4<k<2
c. k>6
d. 2<k<6
e. k<-4

Passo 1

O enunciado dá a quádrica
\frac{x^{2}}{3k+12}+\frac{y^{2}}{3k-18}+\frac{z^{2}}{3k-6}=1
e pede os valores de k para que seja um hiperboloide de uma folha cujo eixo seja paralelo ao eixo y. Nesse caso, as seções em planos y=\text{const} são elipses no plano x\text{-}z, o que exige que o termo com y^{2} apareça com sinal negativo e os termos com x^{2} e z^{2} com sinal positivo.

Passo 2

Identificamos que o sinal de cada termo é dado pelo sinal de seu denominador. Para ter exatamente um termo negativo (o de y^{2}) e dois positivos (os de x^{2} e z^{2}), impomos:
3k-18 < 0,
3k+12 > 0,
3k-6 > 0.

Passo 3

Resolvendo cada inequação:
Para 3k-18<0:
3k<18\implies k<6.
Para 3k+12>0:
3k>-12\implies k>-4.
Para 3k-6>0:
3k>6\implies k>2.

Passo 4

Para satisfazer todas ao mesmo tempo, precisamos de
k>-4,\quad k>2,\quad k<6.
Como k>2 já garante k>-4, a condição final é
2<k<6.

Resposta

2<k<6 (alternativa d)

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