Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
(h) f(x, y, z)=3 x-3 y-3 z ; x+y-z=0, x^2+2 z^2=1.

Passo 1

O problema pede para encontrar os extremos de f(x,y,z)=3x−3y−3z sujeita às restrições x+y−z=0 e x²+2z²=1, usando multiplicadores de Lagrange. Precisaremos montar o Lagrangeano, obter as equações pelas derivadas parciais e resolver o sistema junto com as restrições.

Passo 2

Formamos o Lagrangeano
L(x,y,z,lambda,mu)=3x-3y-3z - lambda,(x+y-z) - mu,(x^2+2z^2-1)
e calculamos as derivadas parciais, montando o sistema
3 - lambda - 2mu x = 0, -3 - lambda = 0, -3 + lambda - 4mu z = 0, x + y - z = 0, x^2 + 2z^2 = 1

Passo 3

Das duas primeiras equações obtemos
lambda=3-2mu x e lambda=-3, e da terceira lambda=3+4mu z. Igualando aparece
mu x=3, mu z=-tfrac32
Substituindo em x^2+2z^2=1
$$
\Bigl(\frac{3}{\mu}\Bigr)2+2\Bigl(\frac{-3/2}{\mu}\Bigr)2=1
l(3mur)^2+2l(-3/2mur)^2=1
x=\frac{3}{\mu},\quad z=\frac{-3/2}{\mu},\quad y=z-x.
mu=pmtfrac3raiz62í
\Bigl(\tfrac{\sqrt6}{3},-\tfrac{\sqrt6}{2},-\tfrac{\sqrt6}{6}\Bigr)
x=3mu, z=-3/2mu, y=z-x
\Bigl(-\tfrac{\sqrt6}{3},\tfrac{\sqrt6}{2},\tfrac{\sqrt6}{6}\Bigr).
$$

Passo 4

Avaliando f nos dois pontos críticos obtemos
fl(tfracraiz63,-tfracraiz62,-tfracraiz66r)=3raiz6,
e
fl(-tfracraiz63,tfracraiz62,tfracraiz66r)=-3raiz6

Resposta

Máximo: 3raiz6; Mínimo: -3raiz6.

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