Calcule \int_{-\infty}^{x} f(t) d t onde f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}0, & \text { se } & |t|>1 \\\\ 1, & \text { se } & |t| \leq 1\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede para calcular a função
G(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
onde a função f\) é dada por
\[f(t)=\begin{cases} 0, & \text{se } |t|>1,\\[4pt] 1, & \text{se } |t|\le 1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Suporte de }f=\{t\in\mathbb{R}:|t|\le 1\}=[-1,1],
ou seja, f(t)=1\] apenas para \(t em [-1,1] e f(t)=0 fora desse intervalo. A tarefa é obter G(x) como função de x.]
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): integrar f sobre (-\infty,x] significa somar a contribução de f(t) para todos t\le x. Como f(t)=0 fora de [-1,1], apenas os pontos em [-1,1] contribuem. Portanto G(x) é o comprimento (medida) do conjunto (-\infty,x]\cap[-1,1]. Em termos práticos, calculamos a integral examinando onde o intervalo de integração intercepta [-1,1] — isso leva a três casos: x<-1, -1\le x\le 1 e x>1.
Passo 3
Caso 1: x<-1.
Se x<-1, então todo t\le x satisfaz t<-1, logo f(t)=0 em todo o intervalo de integração. Assim,
Explicação extra (para prova): integrar a função zero dá zero porque a integral de 0 sobre qualquer intervalo é 0.
Passo 4
Caso 2: -1\le x\le 1.
Agora o intervalo (-\infty,x] contém todo o trecho à esquerda de -1 (onde f=0) e parte do trecho [-1,1] (onde f=1), precisamente [-1,x]. Podemos escrever a integral como soma
Resumo e observação rápida: a função G(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt é contínua, não decrescente e tem derivada G'(x)=f(x) quase em todo lugar (exceto nas descontinuidades de f). Mas o resultado prático para a prova é a forma por partes já obtida.