Calcule \int_{-\infty}^{x} f(t) d t onde f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}0, & \text { se } & |t|>1 \\\\ 1, & \text { se } & |t| \leq 1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função
G(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
onde a função f\) é dada por \[f(t)=\begin{cases} 0, & \text{se } |t|>1,\\[4pt] 1, & \text{se } |t|\le 1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Suporte de }f=\{t\in\mathbb{R}:|t|\le 1\}=[-1,1],
ou seja, f(t)=1\] apenas para \(t em [-1,1] e f(t)=0 fora desse intervalo. A tarefa é obter G(x) como função de x.]

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): integrar f sobre (-\infty,x] significa somar a contribução de f(t) para todos t\le x. Como f(t)=0 fora de [-1,1], apenas os pontos em [-1,1] contribuem. Portanto G(x) é o comprimento (medida) do conjunto (-\infty,x]\cap[-1,1]. Em termos práticos, calculamos a integral examinando onde o intervalo de integração intercepta [-1,1] — isso leva a três casos: x<-1, -1\le x\le 1 e x>1.

Passo 3

Caso 1: x<-1.
Se x<-1, então todo t\le x satisfaz t<-1, logo f(t)=0 em todo o intervalo de integração. Assim,
\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{-\infty}^{x} 0\,dt = 0.
Explicação extra (para prova): integrar a função zero dá zero porque a integral de 0 sobre qualquer intervalo é 0.

Passo 4

Caso 2: -1\le x\le 1.
Agora o intervalo (-\infty,x] contém todo o trecho à esquerda de -1 (onde f=0) e parte do trecho [-1,1] (onde f=1), precisamente [-1,x]. Podemos escrever a integral como soma
\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt + \int_{-1}^{x} f(t)\,dt.
Na primeira parcela f=0, portanto é 0. Na segunda parcela f(t)=1 para t\in[-1,x], então
\int_{-1}^{x} f(t)\,dt = \int_{-1}^{x} 1\,dt.
A integral de 1 é simplesmente o comprimento do intervalo; calculamos
\int_{-1}^{x} 1\,dt = x-(-1)=x+1.
Logo, para -1\le x\le 1,
\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = x+1.

Passo 5

Caso 3: x>1.
Se x>1, então o intervalo (-\infty,x] contém todo [-1,1]. Fora de [-1,1] temos f=0, portanto
\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{-\infty}^{-1} 0\,dt + \int_{-1}^{1} 1\,dt + \int_{1}^{x} 0\,dt.
As parcelas com 0 são 0; resta
\int_{-1}^{1} 1\,dt = 1-(-1)=2.
Assim, para x>1,
\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = 2.

Passo 6

Resumo e observação rápida: a função G(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt é contínua, não decrescente e tem derivada G'(x)=f(x) quase em todo lugar (exceto nas descontinuidades de f). Mas o resultado prático para a prova é a forma por partes já obtida.

Resposta

\displaystyle \text{Para }x<-1:\;0
\displaystyle \text{Para }-1\le x\le 1:\;x+1
\displaystyle \text{Para }x>1:\;2

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