Um pescador tem um custo fixo diário de
com combustivel, iscas, manutenção de seu barco e outras pequenas despesas. Ele vende cada quilograma de peixe por
. Sua meta é obter um lucro mínimo de
por dia. Sozinho, ele consegue, ao final de um dia de trabalho, pescar 180 kg de peixe, o que é suficiente apenas para cobrir o custo fixo diário. Portanto, precisa contratar ajudantes, pagando para cada um
por dia de trabalho. Além desse valor,
da receita obtida pela venda de peixe é repartida igualmente entre os ajudantes. Considerando o tamanho de seu barco, ele pode contratar até 5 ajudantes. Ele sabe que com um ajudante a pesca diária é de 300 kg e que, a partir do segundo ajudante contratado, aumenta-se em 100 kg a quantidade de peixe pescada por ajudante em um dia de trabalho.
A quantidade mínima de ajudantes que esse pescador precisa contratar para conseguir o lucro diário pretendido é
(A) 1
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(1) 4
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A quantidade mínima de ajudantes que esse pescador precisa contratar para conseguir o lucro diário pretendido é
(A) 1
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pescador que quer ganhar pelo menos R$800,00 de lucro por dia. Para isso, ele tem custos fixos de R$900,00 e ganha R$5,00 por cada quilograma de peixe vendido. Se ele trabalha sozinho, pesca 180 kg, que só cobre os custos fixos. Para alcançar o lucro desejado, ele precisa contratar ajudantes. Cada ajudante custa R$250,00 por dia mais 4% da receita das vendas. Com cada ajudante adicional, a quantidade de peixe pescada aumenta. Vamos descobrir quantos ajudantes ele precisa contratar para atingir o lucro de R$800,00 por dia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a receita necessária para atingir o lucro desejado. O lucro é dado por:
Queremos que o lucro seja pelo menos R$800,00. Sabemos que os custos totais incluem os custos fixos e os custos dos ajudantes. Então, temos:
Passo 3
Os custos fixos são R$900,00. Cada ajudante custa R$250,00 mais 4% da receita. Então, se contratarmos $ n $ ajudantes, os custos com ajudantes serão:
Portanto, nossa equação fica:
Passo 4
Vamos calcular a quantidade de peixe pescada com $ n $ ajudantes. Sabemos que:
- Sozinho: 180 kg
- 1 ajudante: 300 kg
- A partir do segundo ajudante, cada um adiciona 100 kg
Então, para $ n $ ajudantes:
Passo 5
A receita é o preço por kg multiplicado pela quantidade de peixe:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo a Receita na equação do lucro:
Primeiro, calculamos $ 0,04 \times (1000 + 500n) \times n $:
Agora, a equação fica:
Simplificando:
Passo 7
Rearranjando a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade):
Passo 8
Vamos resolver a inequação quadrática:
Dividindo todos os termos por 10 para simplificar:
Calculamos o discriminante ($ \Delta $):
Como o discriminante é negativo, a equação não tem raízes reais. Isso indica que a inequação não é satisfeita para nenhum valor real de $ n $. Portanto, precisamos reavaliar os passos para verificar se há algum erro.
Passo 9
Revisando os cálculos, percebemos que na representação da quantidade de peixe com ajudantes, houve um erro. Vamos corrigir:
A quantidade de peixe é dada por:
Portanto, a receita é:
Substituindo na equação do lucro:
Calculando o termo dos 4%:
Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 10
Resolvendo a inequação:
Como não podemos contratar uma fração de ajudante, arredondamos para cima. Portanto, o número mínimo de ajudantes é 4.
Resposta
(1) 4