Mostre que o plano complexo é um conjunto aberto.

Passo 1

Resumo: Queremos provar que o plano complexo C é um conjunto aberto na topologia induzida pela métrica usual. Vamos usar a definição de conjunto aberto em espaço métrico e a ideia de bola aberta.

Passo 2

Em um espaço métrico (X,d), um conjunto Usubset X é aberto se, para cada xin U, existe r>0 tal que a bola aberta
B(x,r)=yin X:d(x,y)
está totalmente contida em U. No plano complexo, a métrica é dada por d(z,w)=|z-w|.

Passo 3

Seja z0inC um ponto arbitrário. Basta escolher qualquer r>0. Então a bola aberta de centro z0 e raio r,
B(z0,r)=zinC:|z-z0|
contém apenas pontos z que são números complexos, logo B(z0,r)subsetC.

Passo 4

Como mostramos que para todo z0inC existe r>0 com B(z0,r)subsetC, concluímos que C é aberto.

Resposta

Portanto, C é um conjunto aberto, pois para cada ponto em C existe uma bola aberta contendo esse ponto e contida em C.

Exercícios relacionados