Mostre que o plano complexo é um conjunto aberto.
Passo 1
Resumo: Queremos provar que o plano complexo
é um conjunto aberto na topologia induzida pela métrica usual. Vamos usar a definição de conjunto aberto em espaço métrico e a ideia de bola aberta.
Passo 2
Em um espaço métrico
, um conjunto
é aberto se, para cada
, existe
tal que a bola aberta
está totalmente contida em
. No plano complexo, a métrica é dada por
.
Passo 3
Seja
um ponto arbitrário. Basta escolher qualquer
. Então a bola aberta de centro
e raio
,
contém apenas pontos
que são números complexos, logo
.
Passo 4
Como mostramos que para todo
existe
com
, concluímos que
é aberto.
Resposta
Portanto,
é um conjunto aberto, pois para cada ponto em
existe uma bola aberta contendo esse ponto e contida em
.