Considere a equação y^prime prime+p(t) y=0, então mostre que:
Se y1(t) é uma solução da equação, então y(t)=c y1(t) também será.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y'' + p(t),y = 0, se y1(t) é uma solução, então qualquer múltiplo constante y(t)=c,y1(t) também é solução. Vamos usar a linearidade do operador diferencial para provar isso.

Passo 2

Definimos y(t)=c,y1(t), com c constante. Calculamos as derivadas: y'(t)=c,y1'(t) e y''(t)=c,y1''(t).
Substituímos na equação original:
y'' + p(t),y = c,y1'' + p(t),l(c,y1r) = c,l(y1'' + p(t),y1r)

Passo 3

Como y1 satisfaz y1'' + p(t)y1 = 0, segue que c,(y1'' + p(t)y1)=ccdot0=0. Portanto y(t)=c,y1(t) satisfaz a equação.
Concluímos que múltiplos escalares de uma solução de uma equação linear homogênea também são soluções.

Resposta

y(t)=c,y1(t) é solução da equação diferencial dada para qualquer constante c.

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