Faça o que se pede:
Resolva a inequação (x+1) cdot(2 x-3)x+5 >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x+1) cdot (2x - 3)x + 5 >= 0. Aqui, estamos lidando com inequações racionais, que são aquelas onde temos um polinômio dividido por outro. Para resolver, vamos precisar identificar onde a expressão é maior ou igual a zero, ou seja, onde ela é positiva ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros do numerador e os pontos onde o denominador é zero, porque esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
  • Numerador: (x + 1)(2x - 3) = 0
    • x + 1 = 0 Rightarrow x = -1
    • 2x - 3 = 0 Rightarrow x = 32
  • Denominador: x + 5 = 0 Rightarrow x = -5
Então, temos os pontos críticos em x = -5, x = -1 e x = 32.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica nesses pontos para criar intervalos que vamos testar:
  1. x < -5
  2. -5 < x < -1
  3. -1 < x < 32
  4. x > 32
Lembrando que x = -5 não está definido na inequação porque deixaria o denominador zero.

Passo 4

Vamos escolher um número de cada intervalo e ver o sinal da expressão (x+1) cdot (2x - 3)x + 5 em cada um.
  1. Para x < -5, por exemplo, x = -6:
(-6+1) cdot (2(-6) - 3)-6 + 5 = (-5) cdot (-15)-1 = 75-1 = -75 (Negativo)
  1. Para -5 < x < -1, por exemplo, x = -3:
(-3+1) cdot (2(-3) - 3)-3 + 5 = (-2) cdot (-9)2 = 182 = 9 (Positivo)
  1. Para -1 < x < 32, por exemplo, x = 0:
(0+1) cdot (2(0) - 3)0 + 5 = 1 cdot (-3)5 = -35 = -0,6 (Negativo)
  1. Para x > 32, por exemplo, x = 2:
(2+1) cdot (2(2) - 3)2 + 5 = 3 cdot (4 - 3)7 = 3 cdot 17 = 37 (Positivo)

Passo 5

Agora, sabemos onde a expressão é positiva ou negativa. Lembrando que queremos quando ela é maior ou igual a zero. Além disso, os pontos onde o numerador é zero ( x = -1 e x = 32) fazem a expressão igual a zero, então eles são incluídos na solução. Porém, x = -5 não está incluso porque deixa a expressão indefinida.

Passo 6

Juntando tudo, a solução da inequação é quando a expressão é positiva ou zero:
  • No intervalo -5 < x <= -1
  • No intervalo x >= 32

Resposta

A solução da inequação (x+1) cdot(2 x-3)x+5 >= 0 é:
-5 < x <= -1 ou x >= 32

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