(1,5 ponto) Determine a integral de linha de f(x, y)=x^3 y ao longo do circunferência de raio 1 e centro na origem, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Enunciado: Queremos calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo de uma circunferência de raio 1 e centro na origem, percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido é a integral de linha de uma função escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco ds, e vamos precisar parametrizar a curva e usar ds=raiz(x')^2+(y')^2,dt.

Passo 2

Escolher uma parametrização: Para a circunferência de raio 1 e centro na origem, percorremos no sentido anti-horário com
x(t)=cos t, y(t)=sin t, tin[0,2pi]

Passo 3

Calcular ds e substituir em f: Como
x'(t)=-sin t, y'(t)=cos t,
temos
ds=raiz(x')^2+(y')^2,dt=raizsin^2t+cos^2t,dt=dt,
e
f(x(t),y(t))=l(cos tr)^3,(sin t)=cos^3t,sin t

Passo 4

Montar a integral:
integralCf(x,y),ds=integral0^2picos^3t,sin t,dt

Passo 5

Resolver a integral: Usamos a substituição u=cos t, logo du=-sin t,dt. Quando t=0 ou t=2pi, temos u=1. Então
integral0^2picos^3t,sin t,dt=integralu=1^1-u^3,du=0

Resposta

0

Exercícios relacionados