Resolva a inequação |x-3| >= x+1, expressando a solução na forma de intervalo.
Dados números reais a e b satisfazendo 0 <= a<b mostre, usando os axiomas de números reais, que a<raiza b<b

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação |x - 3| >= x + 1 e depois mostrar que, para números reais a e b com 0 <= a < b , temos a < raiza b < b . Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma inequação envolvendo valor absoluto e propriedades dos números reais.

Passo 2

Vamos começar resolvendo |x - 3| >= x + 1 . O valor absoluto |x - 3| representa a distância de x até 3 na reta numérica, e queremos saber para quais valores de x essa distância é maior ou igual a x + 1 .

Passo 3

Para resolver a inequação com valor absoluto, precisamos considerar dois casos:
  1. Caso 1: x - 3 >= x + 1
  2. Caso 2: -(x - 3) >= x + 1

Passo 4

Resolvendo o Caso 1:
x - 3 >= x + 1
Subtraindo x de ambos os lados:
-3 >= 1
Isso não faz sentido porque -3 não é maior ou igual a 1. Portanto, não há solução neste caso.

Passo 5

Resolvendo o Caso 2:
-(x - 3) >= x + 1 que simplifica para -x + 3 >= x + 1
Somando x de ambos os lados:
3 >= 2x + 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2 >= 2x
Dividindo por 2:
1 >= x ou x <= 1

Passo 6

Agora, precisamos verificar se a solução x <= 1 satisfaz a inequação original. Substituindo x = 1 na inequação:
|1 - 3| = 2 e 1 + 1 = 2
Como 2 >= 2 é verdadeiro, a solução é válida.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que se 0 <= a < b , então a < raiza b < b .
Primeiro, sabemos que a e b são números reais positivos e a é menor que b .

Passo 8

Consideramos a raiz quadrada de a b , que é raiza b . Vamos mostrar que raiza b está entre a e b .
Primeiro, como a < b e ambos são positivos, multiplicando a por b também mantém a desigualdade: a^2 < a b < b^2 .

Passo 9

Agora, tirando a raiz quadrada de cada parte da desigualdade a^2 < a b < b^2 :
raiza^2 < raiza b < raizb^2
Simplificando:
a < raiza b < b

Resposta

A solução da inequação |x - 3| >= x + 1 é x <= 1 . Além disso, para 0 <= a < b , temos que a < raiza b < b .

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