Resolva a inequação
, expressando a solução na forma de intervalo.
Dados números reais a e b satisfazendo
mostre, usando os axiomas de números reais, que
Dados números reais a e b satisfazendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
e depois mostrar que, para números reais
e
com
, temos
. Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma inequação envolvendo valor absoluto e propriedades dos números reais.
Passo 2
Vamos começar resolvendo
. O valor absoluto
representa a distância de
até 3 na reta numérica, e queremos saber para quais valores de
essa distância é maior ou igual a
.
Passo 3
Para resolver a inequação com valor absoluto, precisamos considerar dois casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Passo 4
Resolvendo o Caso 1:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso não faz sentido porque
não é maior ou igual a
. Portanto, não há solução neste caso.
Passo 5
Resolvendo o Caso 2:
que simplifica para
Somando
de ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
ou
Passo 6
Agora, precisamos verificar se a solução
satisfaz a inequação original. Substituindo
na inequação:
Como
é verdadeiro, a solução é válida.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que se
, então
.
Primeiro, sabemos que
e
são números reais positivos e
é menor que
.
Passo 8
Consideramos a raiz quadrada de
, que é
. Vamos mostrar que
está entre
e
.
Primeiro, como
e ambos são positivos, multiplicando
por
também mantém a desigualdade:
.
Passo 9
Agora, tirando a raiz quadrada de cada parte da desigualdade
:
Simplificando:
Resposta
A solução da inequação
é
. Além disso, para
, temos que
.