Faça o que se pede:
a) Seja
uma matriz inversível de ordem 2. Prove que
b) Usando o item anterior, calcule a inversa da matriz
.
a) Seja
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. No item a), precisamos provar uma fórmula para encontrar a inversa de uma matriz
de ordem 2. Isso envolve conceitos de matrizes inversas e determinantes. No item b), vamos aplicar essa fórmula para calcular a inversa de uma matriz específica. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes 2x2 e como encontrar a matriz adjunta.
Passo 2
Começando pelo item a), temos a matriz
definida como:
Queremos provar que a inversa de
é:
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz
é inversível se e somente se seu determinante
é diferente de zero. Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
Passo 4
Para encontrar a inversa de
, usamos a fórmula que envolve o determinante e a matriz adjunta. A fórmula geral para a inversa é:
A matriz adjunta
de uma matriz 2x2 é obtida trocando os elementos da diagonal principal e mudando o sinal dos elementos da diagonal secundária.
Passo 5
Aplicando isso à matriz
, temos:
Isso porque trocamos
e
, e mudamos o sinal de
e
.
Passo 6
Agora, substituímos a adjunta na fórmula da inversa:
Isso resulta em:
Passo 7
Dessa forma, provamos que a fórmula para a inversa da matriz
está correta.
Passo 8
Agora, vamos para o item b). Temos a matriz:
Queremos calcular
usando a fórmula que acabamos de provar.
Passo 9
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como
, a matriz
é inversível.
Passo 10
Aplicando a fórmula da inversa, temos:
Onde, para
,
,
,
e
.
Passo 11
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
a) Provamos que a inversa de
é
b) A inversa da matriz
é