Faça o que se pede.
a) Sejam X e Y conjuntos finitos disjuntos, com m e n elementos respectivamente. Mostre que X \cup Y é finito com m+n elementos.
b) Sejam X e Y conjuntos finitos (não necessariamente disjuntos), com m e n elementos respectivamente. Mostre que X \cup Y é finito e
c) Sejam X_{1}, X_{2},{ }^{\prime}, X_{k} conjuntos finitos dois a dois disjuntos, com m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{k} elementos respectivamente. Mostre que X=X_{1} \cup X_{2} \cup \cdots \cup X_{k} é finito com m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k} elementos.
d) O que pode se dizer no item c) X_{1}, X_{2},{ }^{\circ}, X_{k} conjuntos finitos e não forme dois a dois disjuntos?
Passo 1
O enunciado trata de cardinalidade de uniões de conjuntos finitos.
a) Provar que, se X e Y são disjuntos com \lvert X\rvert =m e \lvert Y\rvert =n, então \lvert X\cup Y\rvert =m+n.
b) Para X,Y quaisquer, mostrar que
c) Estender ao caso de k conjuntos finitos X_{1},\dots,X_{k} dois a dois disjuntos, obtendo \lvert X_{1}\cup\cdots\cup X_{k}\rvert=m_{1}+\cdots+m_{k}.
d) Comentar o que muda se não forem disjuntos.
Passo 2
Como X\) é finito com \(\lvert X\rvert =m\), existe enumeração bijetiva \(\{1,\dots,m\}\longleftrightarrow X\), digamos \(i\mapsto x_{i}\). De modo análogo, há bijeção \(\{1,\dots,n\}\longleftrightarrow Y\), \(j\mapsto y_{j}\).
Definimos então
\[f\colon \{1,\dots,m+n\}\to X\cup Y
No caso d), se os X_{i} não forem disjuntos dois a dois, a união ainda é finita, mas sua cardinalidade é dada pela fórmula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão:
a) \lvert X\cup Y\rvert = m+n.
b) \lvert X\cup Y\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert-\lvert X\cap Y\rvert.
c) \Bigl\lvert\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\rvert=m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}.
d) Continua finito e vale a fórmula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão acima.