Prove os itens abaixo.
Sejam X_{1}, X_{2} conjuntos finitos. Mostre que X_{1} \times X_{2} é finito e
\operatorname{card}\left(X_{1} \times X_{2}\right)=\operatorname{card} X_{1} \cdot \operatorname{card} X_{2} .

Passo 1

O enunciado afirma que X_{1} e X_{2} são conjuntos finitos e pede para mostrar que o produto cartesiano X_{1}\times X_{2} também é finito e que
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\times X_{2}\bigr) =\operatorname{card}X_{1}\,\cdot\,\operatorname{card}X_{2}.
O conteúdo principal aqui é a noção de bijeção e a contagem de pares ordenados a partir de enumerações de conjuntos finitos.

Passo 2

Como X_{1} é finito, existe bijeção
f_{1}\colon X_{1}\to\{1,2,\dots,n\},
onde n=\operatorname{card}X_{1}. De modo análogo, como X_{2} é finito, existe bijeção
f_{2}\colon X_{2}\to\{1,2,\dots,m\},
onde m=\operatorname{card}X_{2}.

Passo 3

Definimos
F\colon X_{1}\times X_{2}\longrightarrow \{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\} \quad\text{por}\quad F\bigl(x,y\bigr)=\bigl(f_{1}(x),\,f_{2}(y)\bigr).
Mostramos que F é bijetora:
  1. Injetividade: se F(x,y)=F(x',y') então f_{1}(x)=f_{1}(x') e f_{2}(y)=f_{2}(y'). Pela injetividade de f_{1} e f_{2} segue x=x' e y=y'.
  2. Sobrejetividade: dado qualquer par (i,j)\in\{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}, como f_{1} e f_{2} são sobrejetoras, existem x\in X_{1} e y\in X_{2} tais que f_{1}(x)=i, f_{2}(y)=j. Então F(x,y)=(i,j).

Passo 4

Logo X_{1}\times X_{2} é finito, pois bijete-se com o conjunto finito \{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}. Resta contar quantos elementos tem \{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}. Para cada i\in\{1,\dots,n\} há exatamente m pares (i,j) com j\in\{1,\dots,m\}. Assim
\operatorname{card}\bigl(\{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}\bigr) =\sum_{i=1}^{n}m =n\,m.

Passo 5

Como há bijeção
X_{1}\times X_{2}\;\cong\;\{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\},
segue
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\times X_{2}\bigr) =\operatorname{card}\bigl(\{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}\bigr) =n\,m =\operatorname{card}X_{1}\,\cdot\,\operatorname{card}X_{2}.

Resposta

Mostramos que X_{1}\times X_{2} é finito e
\operatorname{card}\bigl(X_{1}\times X_{2}\bigr) =\operatorname{card}X_{1}\,\cdot\,\operatorname{card}X_{2}.

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