Faça o que se pede.
a) Sejam X e Y conjuntos finitos disjuntos, com m e n elementos respectivamente. Mostre que X \cup Y é finito com m+n elementos.
b) Sejam X e Y conjuntos finitos (não necessariamente disjuntos), com m e n elementos respectivamente. Mostre que X \cup Y é finito e
\operatorname{card}(X \cup Y)=\operatorname{card} X+\operatorname{card} Y-\operatorname{card}(X \cap Y) .
c) Sejam X_{1}, X_{2},{ }^{\prime}, X_{k} conjuntos finitos dois a dois disjuntos, com m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{k} elementos respectivamente. Mostre que X=X_{1} \cup X_{2} \cup \cdots \cup X_{k} é finito com m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k} elementos.
d) O que pode se dizer no item c) X_{1}, X_{2},{ }^{\circ}, X_{k} conjuntos finitos e não forme dois a dois disjuntos?

Passo 1

O enunciado trata de cardinalidade de uniões de conjuntos finitos.
a) Provar que, se X e Y são disjuntos com \lvert X\rvert =m e \lvert Y\rvert =n, então \lvert X\cup Y\rvert =m+n.
b) Para X,Y quaisquer, mostrar que
\lvert X\cup Y\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert-\lvert X\cap Y\rvert.
c) Estender ao caso de k conjuntos finitos X_{1},\dots,X_{k} dois a dois disjuntos, obtendo \lvert X_{1}\cup\cdots\cup X_{k}\rvert=m_{1}+\cdots+m_{k}.
d) Comentar o que muda se não forem disjuntos.

Passo 2

Como X\) é finito com \(\lvert X\rvert =m\), existe enumeração bijetiva \(\{1,\dots,m\}\longleftrightarrow X\), digamos \(i\mapsto x_{i}\). De modo análogo, há bijeção \(\{1,\dots,n\}\longleftrightarrow Y\), \(j\mapsto y_{j}\). Definimos então \[f\colon \{1,\dots,m+n\}\to X\cup Y
por
f(i)= \begin{cases} x_{i},&1\le i\le m,\\\ y_{\,i-m},&m+1\le i\le m+n. \end{cases}
Como X\] e \(Y são disjuntos, f é injetora e sobrejetora, logo bijetora. Portanto
\lvert X\cup Y\rvert = m+n.

Passo 3

Para a parte b), note que
X = (X\setminus Y)\;\dot\cup\;(X\cap Y),
união disjunta. Logo
\lvert X\rvert = \lvert X\setminus Y\rvert + \lvert X\cap Y\rvert.
Por outro lado
X\cup Y = (X\setminus Y)\;\dot\cup\;Y
também é disjunta, e pelo item a)
\lvert X\cup Y\rvert =\lvert X\setminus Y\rvert + \lvert Y\rvert =\bigl(\lvert X\rvert - \lvert X\cap Y\rvert\bigr)+\lvert Y\rvert.
Assim chega-se a
\lvert X\cup Y\rvert =\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert-\lvert X\cap Y\rvert.

Passo 4

Para c), procedemos por indução em k.
Se k=1, é trivial: \lvert X_{1}\rvert=m_{1}.
Suponha válido para k conjuntos dois a dois disjuntos, ou seja
\Bigl\lvert\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\rvert =\sum_{i=1}^{k}m_{i}.
Como X_{1}\cup\cdots\cup X_{k} e X_{k+1} são disjuntos, pelo item a)
\Bigl\lvert\bigcup_{i=1}^{k+1}X_{i}\Bigr\rvert =\Bigl\lvert\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\rvert + m_{k+1} =\sum_{i=1}^{k}m_{i}+m_{k+1}.
Isso completa a indução.

Passo 5

No caso d), se os X_{i} não forem disjuntos dois a dois, a união ainda é finita, mas sua cardinalidade é dada pela fórmula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão:
\Bigl\lvert\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\rvert =\sum_{i=1}^{k}\lvert X_{i}\rvert -\sum_{1\le i<j\le k}\lvert X_{i}\cap X_{j}\rvert +\sum_{1\le i<j<\ell\le k}\lvert X_{i}\cap X_{j}\cap X_{\ell}\rvert -\cdots +(-1)^{\,k-1}\Bigl\lvert\bigcap_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\rvert.

Resposta

a) \lvert X\cup Y\rvert = m+n.
b) \lvert X\cup Y\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert-\lvert X\cap Y\rvert.
c) \Bigl\lvert\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}\Bigr\rvert=m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}.
d) Continua finito e vale a fórmula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão acima.

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