Faça o que se pede:
Use o Teorema da Convergência Monótona para provar que a sequência \left\{\frac{n^{2}}{2^{n}}\right\} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o Teorema da Convergência Monótona, que a sequência \left\{\dfrac{n^{2}}{2^{n}}\right\}_{n=1}^{\infty} é convergente.
Informações dadas:
  • A sequência é definida por a_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}} para n\in\mathbb{N}.
  • O objetivo é mostrar que existe \lim_{n\to\infty} a_{n} (e, na prática, encontrar esse limite).

Passo 2

Explicar o que diz o Teorema da Convergência Monótona (vou enunciar de forma simples e didática).
Teorema (forma usada aqui): “Se uma sequência é monotona (isto é, não aumenta ou não diminui) e é limitada (ou seja, tem um limite superior ou inferior finito conforme o caso), então ela converge.”
Isso significa que, para usar o teorema, preciso encontrar uma parte da sequência que seja monotona e mostrar que ela é limitada. Uma forma comum é provar que a sequência é decrescente a partir de algum índice N e que é limitada inferiormente por 0.

Passo 3

Mostrar que a sequência é decrescente a partir de certo n. Considere a comparação entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{2}}{2^{\,n}}} =\frac{(n+1)^{2}}{2\,n^{2}}.
Queremos saber para quais n vale a_{n+1}\le a_{n}, ou seja,
\frac{(n+1)^{2}}{2\,n^{2}}\le 1.
Isso é equivalente a
(n+1)^{2}\le 2n^{2}
ou
n^{2}-2n-1\ge 0.
Resolvendo n^{2}-2n-1=0 obtemos as raízes n=1\pm\sqrt{2}. Como 1+\sqrt{2}\approx 2{,}414, para todo inteiro n\ge 3 temos n^{2}-2n-1\ge 0. Portanto, para todo n\ge 3,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\le 1\quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}\le a_{n}.
Conclusão: a sequência \{a_n\} é decrescente a partir de n=3.

Passo 4

Mostrar que a sequência é limitada inferiormente. Cada termo a_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}} é positivo (numerador e denominador são positivos), logo
a_{n}>0\quad\text{para todo }n.
Assim a sequência tem uma cota inferior 0. Para uma sequência decrescente, basta ter uma cota inferior finita para garantir que ela seja limitada. Portanto a sub-sequência (ou “cauda”) \{a_n\}_{n\ge 3} é decrescente e limitada inferiormente por 0.

Passo 5

Aplicar o Teorema da Convergência Monótona. Pela propriedade anterior, a sequência \{a_n\}_{n\ge 3} é monótona decrescente e limitada inferiormente, logo converge para algum número L\ge 0. Como alterar ou remover um número finito de termos (os termos a_1 e a_2) não muda o limite, a sequência inteira \{a_n\}_{n\ge 1} também converge para o mesmo L.

Passo 6

Determinar o valor do limite L. Sabemos que a_n\to L e também a_{n+1}\to L quando n\to\infty. Porém calculamos acima a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2}}{2n^{2}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}.
Agora raciocínio por contradição simples: se L>0, então como a_{n+1}\to L e a_n\to L teríamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{L}{L}=1,
o que contradiz o fato de a razão tender a \tfrac{1}{2}. Portanto a hipótese L>0 é impossível, restando L=0. Assim
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 7

Resumo final do raciocínio (rápido e claro): a sequência fica decrescente a partir de n=3 e é sempre positiva, logo a cauda é monotona decrescente e limitada inferiormente; pelo Teorema da Convergência Monótona a cauda converge. O único limite possível é 0, pois a razão a_{n+1}/a_n tende a \tfrac{1}{2}, o que impede um limite positivo. Portanto a sequência inteira converge e o limite é 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=0

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