Faça o que se pede:
Use o Teorema da Convergência Monótona para provar que a sequência
é convergente.
Use o Teorema da Convergência Monótona para provar que a sequência
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o Teorema da Convergência Monótona, que a sequência
é convergente.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é definida por
para . - O objetivo é mostrar que existe
(e, na prática, encontrar esse limite).
Passo 2
Explicar o que diz o Teorema da Convergência Monótona (vou enunciar de forma simples e didática).
Teorema (forma usada aqui): “Se uma sequência é monotona (isto é, não aumenta ou não diminui) e é limitada (ou seja, tem um limite superior ou inferior finito conforme o caso), então ela converge.”
Isso significa que, para usar o teorema, preciso encontrar uma parte da sequência que seja monotona e mostrar que ela é limitada. Uma forma comum é provar que a sequência é decrescente a partir de algum índice e que é limitada inferiormente por
.
Teorema (forma usada aqui): “Se uma sequência é monotona (isto é, não aumenta ou não diminui) e é limitada (ou seja, tem um limite superior ou inferior finito conforme o caso), então ela converge.”
Isso significa que, para usar o teorema, preciso encontrar uma parte da sequência que seja monotona e mostrar que ela é limitada. Uma forma comum é provar que a sequência é decrescente a partir de algum índice
Passo 3
Mostrar que a sequência é decrescente a partir de certo
. Considere a comparação entre termos consecutivos:
Queremos saber para quais
vale
, ou seja,
Isso é equivalente a
ou
Resolvendo
obtemos as raízes
. Como
, para todo inteiro
temos
. Portanto, para todo
,
Conclusão: a sequência
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Mostrar que a sequência é limitada inferiormente. Cada termo
é positivo (numerador e denominador são positivos), logo
Assim a sequência tem uma cota inferior
. Para uma sequência decrescente, basta ter uma cota inferior finita para garantir que ela seja limitada. Portanto a sub-sequência (ou “cauda”)
é decrescente e limitada inferiormente por
.
Passo 5
Aplicar o Teorema da Convergência Monótona. Pela propriedade anterior, a sequência
é monótona decrescente e limitada inferiormente, logo converge para algum número
. Como alterar ou remover um número finito de termos (os termos
e
) não muda o limite, a sequência inteira
também converge para o mesmo
.
Passo 6
Determinar o valor do limite
. Sabemos que
e também
quando
. Porém calculamos acima a razão
Tomando limite quando
,
Agora raciocínio por contradição simples: se
, então como
e
teríamos
o que contradiz o fato de a razão tender a
. Portanto a hipótese
é impossível, restando
. Assim
Passo 7
Resumo final do raciocínio (rápido e claro): a sequência fica decrescente a partir de
e é sempre positiva, logo a cauda é monotona decrescente e limitada inferiormente; pelo Teorema da Convergência Monótona a cauda converge. O único limite possível é
, pois a razão
tende a
, o que impede um limite positivo. Portanto a sequência inteira converge e o limite é
.