Justifique as seguintes igualdades:
Passo 1
O enunciado pede para justificar a igualdade
Informações dadas e o que temos de provar:
- A série é
. - É preciso mostrar que essa série converge e que sua soma é
.
Passo 2
Mostrar que a série converge (razão prática): para
temos
. Assim
Como
converge (é uma p-série com
), pelo teste da comparação a nossa série
também converge. Isso permite trabalhar com somas parciais e passar ao limite.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais de cada termo. Note que
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolhendo
dá
então
. Escolhendo
dá
então
. Portanto
Passo 4
Escrever a soma parcial
usando a decomposição:
Vamos expandir os primeiros e últimos termos para ver o cancelamento (telescópico):
Passo 5
Observar o cancelamento dos termos repetidos. Na soma dentro dos parênteses, os termos
aparecem tanto com sinal
quanto com sinal
e se cancelam. Ficam apenas os termos iniciais positivos
e
e os últimos negativos
e
. Assim
Simplificando,
Passo 6
Passar ao limite quando
. Como
quando
, toma-se o limite de
e obtemos
Isto completa a justificativa da igualdade.