Justifique as seguintes igualdades:
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-1}=\frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede para justificar a igualdade
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-1}=\frac{3}{4}.
Informações dadas e o que temos de provar:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.
  • É preciso mostrar que essa série converge e que sua soma é \displaystyle \frac{3}{4}.

Passo 2

Mostrar que a série converge (razão prática): para n\ge 2 temos n^{2}-1\ge \tfrac{1}{2}n^{2}. Assim
\frac{1}{n^{2}-1}\le \frac{2}{n^{2}}.
Como \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^{2}} converge (é uma p-série com p=2>1), pelo teste da comparação a nossa série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1} também converge. Isso permite trabalhar com somas parciais e passar ao limite.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais de cada termo. Note que
\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1) obtemos
1 = A(n+1)+B(n-1).
Escolhendo n=1 1=2A então A=\tfrac{1}{2}. Escolhendo n=-1 1=-2B então B=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).

Passo 4

Escrever a soma parcial \displaystyle S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1} usando a decomposição:
S_{N}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Vamos expandir os primeiros e últimos termos para ver o cancelamento (telescópico):
\begin{aligned} S_{N}=\frac{1}{2}\big(&(\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{3})+(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5})+\cdots \\\ &+(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N+1})\big). \end{aligned}

Passo 5

Observar o cancelamento dos termos repetidos. Na soma dentro dos parênteses, os termos \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\ldots,\tfrac{1}{N-1} aparecem tanto com sinal + quanto com sinal - e se cancelam. Ficam apenas os termos iniciais positivos \tfrac{1}{1} e \tfrac{1}{2} e os últimos negativos -\tfrac{1}{N} e -\tfrac{1}{N+1}. Assim
S_{N}=\frac{1}{2}\left(\,1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\right).
Simplificando,
S_{N}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\right).

Passo 6

Passar ao limite quando N\to\infty. Como \displaystyle \frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\to 0 quando N\to\infty, toma-se o limite de S_{N} e obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{3}{4}.
Isto completa a justificativa da igualdade.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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